Question

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:

  1.4 + 2.7 + ⋅ ⋅ ⋅ + n 3 n + 1 = n n + 1 2    (1)

Answer 1

* Với n =  1:

  Vế trái của (1) =  1.4 = 4;  vế phải của (1) = 1 . (   1 + 1 ) 2 = 4.

 Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1).  Vậy (1) đúng với n = 1.

* Giả sử (1) đúng với n= k. Có nghĩa là ta có:  1.4 + 2.7 + ⋅ ⋅ ⋅ + k 3 k + 1 = k k + 1 2   2

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

1.4 + 2.7 + ⋅ ⋅ ⋅ + k 3 k + 1 + k + 1 3 k + 4 = k + 1 k + 2 2

Thật vậy 1.4 + 2.7 + ⋅ ⋅ ⋅ + k 3 k + 1 ⏟ = k k + 1 2 + k + 1 3 k + 4 = k k + 1 2 + k + 1 3 k + 4  

= ( k + 1 ) .   [ k . ( k + 1 ) ​    + ​ 3 k + ​    4 ] = ( k ​ + ​ 1 ) . ( k 2 + ​​​ 4 k + ​ 4 )    = k + 1 k + 2 2 (đpcm).

Vậy (1) đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.