a: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

b: \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

=>\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)

Xét ΔAMN và ΔACB có

\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)
\(\widehat{MAN}\) chung

Do đó: ΔAMN đồng dạng với ΔACB

Bạn tự vẽ hình. Gợi ý:

- Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

*Gọi K là giao điểm của AH và EF. Khi đó K là trung điểm AH.

- Chứng minh tam giác AHM cân tại A. Suy ra \(\widehat{MAB}=\widehat{HAB}\)

Mặt khác \(\widehat{HAB}=\widehat{ABI}\) (BI//AH) \(\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{ABI}\)

\(\Rightarrow\)△ABI cân tại I nên AI=BI.

*CA cắt BI tại S. Chứng minh I là trung điểm BS.

Đến đây bài toán đã trở nên đơn giản hơn (chỉ chú ý vào các điểm C,A,H,B,S và K).

- CK cắt BS tại I'. Khi đó ta cũng c/m được I' là trung điểm BS.

\(\Rightarrow I\equiv I'\) nên C,K,I thẳng hàng.

Suy ra đpcm.

1: Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE

2: \(\widehat{EDM}=90^0\)

=>\(\widehat{EDH}+\widehat{MDH}=90^0\)

=>\(\widehat{EAH}+\widehat{MDH}=90^0\)

=>\(\widehat{MDH}+\widehat{HAC}=90^0\)

=>\(\widehat{MDH}+\widehat{ABC}=90^0\)

mà \(\widehat{MHD}+\widehat{MBD}=90^0\)

nên \(\widehat{MDH}=\widehat{MHD}\)

=>MD=MH

\(\widehat{MDH}+\widehat{MDB}=\widehat{HDB}=90^0\)

\(\widehat{MHD}+\widehat{MBD}=90^0\)(ΔHDB vuông tại D)

mà \(\widehat{MDH}=\widehat{MHD}\)

nên \(\widehat{MDB}=\widehat{MBD}\)

=>MD=MB

=>MB=MH

=>M là trung điểm của BH

\(\widehat{NED}=90^0\)

=>\(\widehat{NEH}+\widehat{DEH}=90^0\)

=>\(\widehat{NEH}+\widehat{DAH}=90^0\)

mà \(\widehat{DAH}=\widehat{C}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)

nên \(\widehat{NEH}+\widehat{C}=90^0\)

mà \(\widehat{NHE}+\widehat{C}=90^0\)(ΔHEC vuông tại E)

nên \(\widehat{NEH}=\widehat{NHE}\)

=>NE=NH

\(\widehat{NEH}+\widehat{NEC}=\widehat{CEH}=90^0\)

\(\widehat{NHE}+\widehat{NCE}=90^0\)(ΔCEH vuông tại E)

mà \(\widehat{NHE}=\widehat{NEH}\)

nên \(\widehat{NEC}=\widehat{NCE}\)

=>NE=NC

mà NH=NE

nên NC=NH

=>N là trung điểm của HC

a/

Ta có

\(\widehat{A}=90^o;\widehat{MHN}=90^o\) => A và H cùng nhìn MN dưới 1 góc vuông nên A; H thuộc đường tròn đường kính MN => A; M; H; N cùng thuộc 1 đường tròn

Xét tg vuông AHC có

\(MA=MC\Rightarrow HM=MA=MC=\dfrac{AC}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

=> tg AMH cân tại M \(\Rightarrow\widehat{MAH}=\widehat{MHA}\)

Mà

 \(\widehat{NAH}+\widehat{MAH}=\widehat{A}=90^o\)

\(\widehat{NHA}+\widehat{MHA}=\widehat{MHN}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{NAH}=\widehat{NHA}\) => tg NAH cân tại N => NA=HN (1)

Xét tg vuông ABH có

\(\widehat{NAH}+\widehat{B}=90^o\)

\(\widehat{NHA}+\widehat{NHB}=\widehat{AHB}=90^o\)

Mà \(\widehat{NAH}=\widehat{NHA}\) (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{NHB}\) => tg BHN cân tại N => NB=HN (2)

Từ (1) và (2) => NA=NB => N là trung điểm AB

b/

Ta có

NA=NB (cmt); MA=MC (gt) => MN là đường trung bình của tg ABC

=> MN//BC

Gọi O là giao của MN với AH. Xét tg ABH có

MN//BC => NO//BH

NA=NB (cmt)

=> OA=OH (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại) => O à trung điểm AH

Ta có

\(HE\perp AB\left(gt\right);AC\perp AB\left(gt\right)\) => HE//AC => HE//AF

\(HF\perp AC\left(gt\right);AB\perp AC\left(gt\right)\) => HF//AB => HF//AN

=> AEHF là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Gọi O' là giao của EF với AH => O'A=O'H (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) => O' là trung điểm của AH

Mà O cũng là trung điểm của AH (cmt)

=> \(O'\equiv O\) => AH; MN; EF cùng đi qua O

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(AH=\sqrt{4\cdot9}=6\left(cm\right)\)

Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

=>DE=AH=6(cm)

b: Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=180^0\)

=>ADHE là tứ giác nội tiếp

=>A,D,H,E cùng nằm trên 1 đường tròn

c: \(\widehat{CAK}+\widehat{BAK}=90^0\)

\(\widehat{CKA}+\widehat{HAK}=90^0\)

mà \(\widehat{BAK}=\widehat{HAK}\)

nên \(\widehat{CAK}=\widehat{CKA}\)

=>ΔCAK cân tại C

ΔCAK cân tại C

mà CI là đường trung tuyến

nên CI là đường cao

=>CI vuông góc AK

\(a,\text{Áp dụng PTG:}BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10\left(cm\right)\\ \text{Áp dụng HTL:}\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{AB^2}{BC}=6,4\left(cm\right)\\AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=4,8\left(cm\right)\end{matrix}\right.\\ b,\text{Áp dụng HTL:}\left\{{}\begin{matrix}AM\cdot AB=AH^2\\AN\cdot AC=AH^2\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

Mình cần câu d với e thôi nha

2 câu d,e mỗi câu 5 coin ạ 

Ai lm đc câu nào giúp em với ạ

đề câu e sai hay sao ý