Đáp án B

Để f(x) liên tục tại x = 1 thì lim x → 1 f ( x ) = f ( 1 ) . Ta có:

lim x → 1 f ( x ) = l i m x 2016 + x - 1 2018 x + 1 - x + 2018 = lim x → 1 2016 x + 1 1009 2018 x + 1 - 1 2 x + 2018 = 2 2019  

Vậy k = 2 2019 .

Đáp án C.

- Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía dưới trục hoành lên phía trên trục hoành ta được đồ thị hàm số y = |f(x)| (như hình bên). - Số nghiệm của phương trình |f(x)| = m là số giao điểm của đồ thị hàm số y = |f(x)| với đường thẳng y = m. Phương trình |f(x)| = m có 6 nghiệm thực phân biệt  ⇔ 1 < m < 2.

Đáp án B

Cách1: Tư duy tự luận

Hàm số liên tục tại điểm x = 1  khi  lim x → 1 f x = f 1   .

Ta có f 1 = k  và  lim x → 1 f x = lim x → 1 x 2016 + x − 2 2018 x + 1 − x + 2018   .

= lim x → 1 x 2016 − x + 2 x − 1 2018 x + 1 + x + 2018 2018 x + 1 − x + 2018 2018 x + 1 + x + 2018

= lim x → 1 x x − 1 x 2014 + x 2013 + ... + x + 1 + 2 2018 x + 1 + x + 2018 2017 x − 1

= lim x → 1 x x 2014 + x 2013 + ... + x + 1 + 2 2018 x + 1 + x + 2018 2017 = 2015 + 2 .2 1019 2017

= 2 2019

Vậy để hàm số liên tục tại điểm x=1 khi k = 2 2019

Cách 2: Tư duy tự luận (tính giới hạn bằng công thức L’Hospital)

Ta có 

lim x → 1 f x = lim x → 1 x 2016 + x − 2 2018 x + 1 − x + 2018 = lim x → 1 2016 x 2015 + 1 1009 2018 x + 1 − 1 2 x + 2018

= 2016 + 1 1009 2019 − 1 2 2019 = 2 2019

Hàm số liên tục tại điểm x=1 khi  lim x → 1 f x = f 1 ⇔ k = 2 2019   .

Cách 3: Sử dụng máy tính cầm tay (casio và vinacal)

lim x → 1 f x = lim x → 1 x 2016 + x − 2 2018 x + 1 − x + 2018 = 2 2019 .

Hàm số liên tục tại điểm x=1 khi lim x → 1 f x = f 1 ⇔ k = 2 2019 .

Đáp án A.

Ta có  f x − m = 0 ⇔ f x = m   . Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f x  và đường thẳng  y = m .Do đó để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì đường thẳng y = m  phải cắt đồ thị hàm số y = f x  tại một điểm duy nhất. Khi đó m ∈ 3 ; + ∞ .

\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-sinx=0\\x-m-3=0\\x-\sqrt{9-m^2}=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=m+3\\x=\sqrt{9-m^2}\end{matrix}\right.\) 

Do hệ số bậc cao nhất của x dương nên:

- Nếu \(m=-3\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) có nghiệm bội 3 \(x=0\) \(\Rightarrow x=0\) là cực tiểu (thỏa mãn)

- Nếu \(m=3\Rightarrow x=0\) là nghiệm bội chẵn (không phải cực trị, ktm)

- Nếu \(m=0\Rightarrow x=3\) là nghiệm bội chẵn và \(x=0\) là nghiệm bội lẻ, đồng thời \(x=0\) là cực tiểu (thỏa mãn)

- Nếu \(m\ne0;\pm3\) , từ ĐKXĐ của m \(\Rightarrow-3< m< 3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+3>0\\\sqrt{9-m^2}>0\end{matrix}\right.\)

Khi đó \(f'\left(x\right)=0\) có 3 nghiệm pb trong đó \(x=0\) là nghiệm nhỏ nhất

Từ BBT ta thấy \(x=0\) là cực tiểu

Vậy \(-3\le m< 3\)

Đáp án D

            Từ bảng biến thiên ta thấy với m = 2 hoặc  m ≤ 1  thì đồ thị hàm số y = f(x) cắt đường thẳng y = m tại 2 điểm phân biệt hay phương trình f(x) = m có 2 nghiệm phân biệt.