Bài tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số:
a, y = 2\(xe^x\) + 3sin2x b, y = \(5x^2\) - \(2^x\)cosx
c, y = \(\frac{x+1}{3^x}\)
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a. \(y=x.\sqrt{x^2-2x}\)
b.\(y=3sin2x+cos3x\)
Giúp mk vs ạ!!!
a.\(y'=x\left(\sqrt{x^2-2x}\right)'+\sqrt{x^2-2x}=\dfrac{x}{2\sqrt{x^2-2x}}2\left(x-1\right)+\sqrt{x^2-2x}=\dfrac{x\left(x-1\right)}{\sqrt{x^2-2x}}+\sqrt{x^2-2x}\)
\(=\dfrac{x^2-x+x^2-2x}{2\sqrt{x^2-2x}}=\dfrac{2x^2-3x}{2\sqrt{x^2-2x}}\)
b. \(y=3sin2x+cos3x\Rightarrow y'=6cos2x-3sin3x\)
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = 2{{\rm{x}}^3} - \frac{{{x^2}}}{2} + 4{\rm{x}} - \frac{1}{3}\);
b) \(y = \frac{{ - 2{\rm{x}} + 3}}{{{\rm{x}} - 4}}\);
c) \(y = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 3}}{{{\rm{x}} - 1}}\); d) \(y = \sqrt {5{\rm{x}}} \).
a) \(y' = 2.3{{\rm{x}}^2} - \frac{1}{2}.2{\rm{x}} + 4.1 - 0 = 6{{\rm{x}}^2} - x + 4\).
b) \(y' = \frac{{{{\left( { - 2{\rm{x}} + 3} \right)}^\prime }.\left( {{\rm{x}} - 4} \right) - \left( { - 2{\rm{x}} + 3} \right).{{\left( {{\rm{x}} - 4} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{\rm{x}} - 4} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{ - 2\left( {{\rm{x}} - 4} \right) - \left( { - 2{\rm{x}} + 3} \right).1}}{{{{\left( {{\rm{x}} - 4} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{ - 2{\rm{x}} + 8 + 2{\rm{x}} - 3}}{{{{\left( {{\rm{x}} - 4} \right)}^2}}} = \frac{5}{{{{\left( {{\rm{x}} - 4} \right)}^2}}}\)
c) \(y' = \frac{{{{\left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 3} \right)}^\prime }\left( {{\rm{x}} - 1} \right) - \left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 3} \right){{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{\left( {2{\rm{x}} - 2} \right)\left( {{\rm{x}} - 1} \right) - \left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 3} \right).1}}{{{{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}\) \( = \frac{{2{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} - 2{\rm{x}} + 2 - {x^2} + 2{\rm{x}} - 3}}{{{{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} - 1}}{{{{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}\)
d) \(y' = {\left( {\sqrt 5 .\sqrt x } \right)^\prime } = \sqrt 5 .\frac{1}{{2\sqrt x }} = \frac{{\sqrt 5 }}{{2\sqrt x }} = \frac{5}{{2\sqrt {5x} }}\).
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = 3{x^4} - 7{x^3} + 3{x^2} + 1\);
b) \(y = {\left( {{x^2} - x} \right)^3}\);
c) \(y = \frac{{4{\rm{x}} - 1}}{{2{\rm{x}} + 1}}\)
a, \(y=3x^4-7x^3+3x^2+1\)
\(y'=12x^3-21x^2+6x\)
b, \(y=\left(x^2-x\right)^3\)
\(y'=3\left(x^2-x\right)^2\left(2x-1\right)\)
c, \(y=\dfrac{4x-1}{2x+1}\)
\(y'=\dfrac{4+2}{\left(2x+1\right)^2}\)
\(y'=\dfrac{6}{\left(2x+1\right)^2}\)
a: y=3x^4-7x^3+3x^2+1
=>y'=3*4x^3-7*3x^2+3*2x
=12x^3-21x^2+6x
b: \(y'=\left[\left(x^2-x\right)^3\right]'\)
\(=3\left(2x-1\right)\left(x^2-x\right)^2\)
c: \(y'=\dfrac{\left(4x-1\right)'\left(2x+1\right)-\left(4x-1\right)\left(2x+1\right)'}{\left(2x+1\right)^2}\)
\(=\dfrac{4\left(2x+1\right)-2\left(4x-1\right)}{\left(2x+1\right)^2}=\dfrac{6}{\left(2x+1\right)^2}\)
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
\(\begin{array}{l}a)\;y = \frac{1}{{cosx}}\\b)\;y = tan(x + \frac{\pi }{4})\\c)\;y = \frac{1}{{2 - si{n^2}x}}\end{array}\)
a, ĐK: \(cos\left(x\right)\ne0\Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)
Vậy tập xác định của hàm số là: \(D=R\backslash\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z\right\}\)
b, ĐK: \(cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\ne0\Leftrightarrow x+\dfrac{\pi}{4}\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)
Vậy tập xác định của hàm số là \(D=R\backslash\left\{\dfrac{\pi}{4}+k\pi,k\in Z\right\}\)
c, ĐK: \(2-sin^2\left(x\right)\ne0\Leftrightarrow sin^2\left(x\right)\ne2\)
Vì \(0\le sin^2\left(x\right)\le1\Rightarrow sin^2\left(x\right)\ne2\forall x\)
Vậy tập xác định của hàm số là \(D=R\)
Bài 1: Xét tính đơn điệu của hàm số \(y=f(x)\) khi biết đạo hàm của hàm số là:
a) \(f'(x)=(x+1)(1-x^2)(2x-1)^3\)
b) \(f'(x)=(x+2)(x-3)^2(x-4)^3\)
Bài 2: Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)=x(x+1)(x-2)\). Xét tính biến thiên của hàm số:
a) \(y=f(2-3x)\)
b) \(y=f(x^2+1)\)
c) \(y=f(3x+1)\)
1. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a, \(y=\dfrac{2x-1}{x-1}\)
b, \(y=\dfrac{2x+1}{1-3x}\)
c, \(y=\dfrac{x^2+2x+2}{x+1}\)
d, \(y=\dfrac{2x^2}{x^2-2x-3}\)
e, \(y=x+1-\dfrac{2}{x-1}\)
g, \(y=\dfrac{2x^2-4x+5}{2x+1}\)
2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a, \(y=\left(x^2+x+1\right)^4\)
b, y= (1-2x2)5
c, \(y=\left(\dfrac{2x+1}{x-1}\right)^3\)
d, \(y=\dfrac{\left(x+1\right)^2}{\left(x-1\right)^3}\)
e, \(y=\dfrac{1}{\left(x^2-2x+5\right)^2}\)
f, \(y=\left(3-2x^2\right)^4\)
a. \(y'=\dfrac{-1}{\left(x-1\right)}\)
b. \(y'=\dfrac{5}{\left(1-3x\right)^2}\)
c. \(y=\dfrac{\left(x+1\right)^2+1}{x+1}=x+1+\dfrac{1}{x+1}\Rightarrow y'=1-\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{x^2+2x}{\left(x+1\right)^2}\)
d. \(y'=\dfrac{4x\left(x^2-2x-3\right)-2x^2\left(2x-2\right)}{\left(x^2-2x-3\right)^2}=\dfrac{-4x^2-12x}{\left(x^2-2x-3\right)^2}\)
e. \(y'=1+\dfrac{2}{\left(x-1\right)^2}=\dfrac{x^2-2x+3}{\left(x-1\right)^2}\)
g. \(y'=\dfrac{\left(4x-4\right)\left(2x+1\right)-2\left(2x^2-4x+5\right)}{\left(2x+1\right)^2}=\dfrac{4x^2+4x-14}{\left(2x+1\right)^2}\)
2.
a. \(y'=4\left(x^2+x+1\right)^3.\left(x^2+x+1\right)'=4\left(x^2+x+1\right)^3\left(2x+1\right)\)
b. \(y'=5\left(1-2x^2\right)^4.\left(1-2x^2\right)'=-20x\left(1-2x^2\right)^4\)
c. \(y'=3\left(\dfrac{2x+1}{x-1}\right)^2.\left(\dfrac{2x+1}{x-1}\right)'=3\left(\dfrac{2x+1}{x-1}\right)^2.\left(\dfrac{-3}{\left(x-1\right)^2}\right)=\dfrac{-9\left(2x+1\right)^2}{\left(x-1\right)^4}\)
d. \(y'=\dfrac{2\left(x+1\right)\left(x-1\right)^3-3\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)^2}{\left(x-1\right)^6}=\dfrac{-x^2-6x-5}{\left(x-1\right)^4}\)
e. \(y'=-\dfrac{\left[\left(x^2-2x+5\right)^2\right]'}{\left(x^2-2x+5\right)^4}=-\dfrac{2\left(x^2-2x+5\right)\left(2x-2\right)}{\left(x^2-2x+5\right)^4}=-\dfrac{4\left(x-1\right)}{\left(x^2-2x+5\right)^3}\)
f. \(y'=4\left(3-2x^2\right)^3.\left(3-2x^2\right)'=-16x\left(3-2x^2\right)^3\)
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = {\left( {\frac{{2x - 1}}{{x + 2}}} \right)^5}\)
b) \(y = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\);
c) \(y = {e^x}{\sin ^2}x\);
d) \(y = \log (x + \sqrt x )\).
tham khảo:
a)\(y'\left(x\right)=5\left(\dfrac{2x-1}{x+2}\right)^4.\dfrac{\left(x+2\right)\left(2\right)-\left(2x-1\right).1}{\left(x+2\right)^2}\)
\(=\dfrac{10\left(2x-1\right)\left(x+2\right)^3}{\left(x+2\right)^4}=\dfrac{20x-50}{\left(x+2\right)^4}\)
b)\(y'\left(x\right)=\dfrac{2\left(x^2+1\right)-2x\left(2x\right)}{\left(x^2+1\right)^2}\)\(=\dfrac{2\left(1-x^2\right)}{\left(x^2+1\right)^2}\)
c)\(y'\left(x\right)=e^x.2sinxcosx+e^xsin^2x.2cosx\)
\(=2e^xsinx\left(cosx+sinxcosx\right)\)
\(=2e^xsinxcos^2x\)
d)\(y'\left(x\right)=\dfrac{1}{x\sqrt{x}}.\left(+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+\sqrt{x}+2\right)}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}\left(3\sqrt{x}+2\right)}\)
4. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = (3x^2-4x+1)^{-4}\)
b) \(y = 3^{x^2-1} + e^{-x+1}\)
c) \(y = \ln (x^2-4x) + \log_{3} (2x-1)\)
d) \(y =x . \ln x + 2^{\frac{x-1}{x+1}}\)
e) \(y = x^{-7} - \ln (x^2-1)\)
`a)TXĐ:R\\{1;1/3}`
`y'=[-4(6x-4)]/[(3x^2-4x+1)^5]`
`b)TXĐ:R`
`y'=2x. 3^[x^2-1] ln 3-e^[-x+1]`
`c)TXĐ: (4;+oo)`
`y'=[2x-4]/[x^2-4x]+2/[(2x-1).ln 3]`
`d)TXĐ:(0;+oo)`
`y'=ln x+2/[(x+1)^2].2^[[x-1]/[x+1]].ln 2`
`e)TXĐ:(-oo;-1)uu(1;+oo)`
`y'=-7x^[-8]-[2x]/[x^2-1]`
Lời giải:
a.
$y'=-4(3x^2-4x+1)^{-5}(3x^2-4x+1)'$
$=-4(3x^2-4x+1)^{-5}(6x-4)$
$=-8(3x-2)(3x^2-4x+1)^{-5}$
b.
$y'=(3^{x^2-1})'+(e^{-x+1})'$
$=(x^2-1)'3^{x^2-1}\ln 3 + (-x+1)'e^{-x+1}$
$=2x.3^{x^2-1}.\ln 3 -e^{-x+1}$
c.
$y'=\frac{(x^2-4x)'}{x^2-4x}+\frac{(2x-1)'}{(2x-1)\ln 3}$
$=\frac{2x-4}{x^2-4x}+\frac{2}{(2x-1)\ln 3}$
d.
\(y'=(x\ln x)'+(2^{\frac{x-1}{x+1}})'=x(\ln x)'+x'\ln x+(\frac{x-1}{x+1})'.2^{\frac{x-1}{x+1}}\ln 2\)
\(=x.\frac{1}{x}+\ln x+\frac{2}{(x+1)^2}.2^{\frac{x-1}{x+1}}\ln 2\\ =1+\ln x+\frac{2^{\frac{2x}{x+1}}\ln 2}{(x+1)^2}\)
e.
\(y'=-7x^{-8}-\frac{(x^2-1)'}{x^2-1}=-7x^{-8}-\frac{2x}{x^2-1}\)
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}};\)
b) \(y = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}.\)
tham khảo:
a)\(y'=\dfrac{\left(2\right)\left(x+2\right)-\left(2x-1\right)\left(1\right)}{\left(x+2\right)^2}\)
\(y'=\dfrac{5}{\left(x+2\right)^2}\)
b)\(y'=\dfrac{\left(2\right)\left(x^2+1\right)-\left(2x\right)\left(2x\right)}{\left(x^2+1\right)^2}\)
\(y'=\dfrac{2\left(1-x^2\right)}{\left(x^2+1\right)^2}\)