Lời giải:

Chứng minh \(xy+yz+xz-2xyz\leq \frac{7}{27}\)

Theo BDDT Schur ta có \(xyz\geq (x+y-z)(z+x-y)(y+z-x)=(1-2x)(1-2y)(1-2z)\)

\(\Leftrightarrow 9xyz\geq 4(xy+yz+xz)-1\)

Do đó \(A=xy+yz+xz-xyz\leq xy+yz+xz-\frac{8}{9}(xy+yz+xz)+\frac{2}{9}=\frac{xy+yz+zx}{9}+\frac{2}{9}\)

Theo AM-GM dễ thấy \(1=(xy+yz+xz)^2\geq 3(xy+yz+xz)\Rightarrow xy+yz+xz\leq \frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow A\leq \frac{7}{27}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Chứng minh \(xy+yz+xz-2xyz\geq 0\)

Do $x,y,z\geq 0$ nên

\(A=xy(1-z)+yz(1-x)+xz=xy(x+y)+yz(y+z)+xz\geq 0\)

Dấu bẳng xảy ra khi \((x,y,z)=(0,0,1)\) và các hoán vị của nó

Đặt vế trái là P

Ta có: \(P\le x^2y+y^2z+z^2x+xyz\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(x=mid\left\{x;y;z\right\}\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x-z\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow x^2+yz\le xy+xz\)

\(\Rightarrow x^2y+y^2z\le xy^2+xyz\)

\(\Rightarrow P\le xy^2+z^2x+2xyz=x\left(y^2+z^2+2yz\right)=x\left(y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}.2x\left(y+z\right)\left(y+z\right)\le\frac{1}{2}\left(\frac{2x+y+z+y+z}{3}\right)^3=\frac{4}{27}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{3};0;\frac{2}{3}\right)\)

https://olm.vn/hoi-dap/detail/227981379332.html

Bạn tham khảo ở đây nhé.

\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+xz-yz+y^2=2\left(1\right)\\y^2+xy-yz+z^2=0\left(2\right)\\x^2-xy-xz-z^2=2\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy (2) cộng (3) ta được

\(x^2+y^2-yz-zx=2\) (4)

Lấy (1) - (4) ta được

\(2x\left(x+z\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-z\end{matrix}\right.\)

Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và z

1. \(\left\{{}\begin{matrix}6xy=5\left(x+y\right)\\3yz=2\left(y+z\right)\\7zx=10\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{z+x}{zx}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)

Đến đây thì dễ rồi nhé

2. \(\left\{{}\begin{matrix}\left(xy-x\right)-\left(y-1\right)=6\\\left(yz-y\right)-\left(z-1\right)=12\\\left(zx-z\right)-\left(x-1\right)=8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(y-1\right)=6\\\left(y-1\right)\left(z-1\right)=12\\\left(z-1\right)\left(x-1\right)=8\end{matrix}\right.\)

Đến đây dễ rồi

Lời giải:
Vế đầu tiên:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(xy+yz+xz=(x+y+z)(xy+yz+xz)\geq 3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{xy.yz.xz}=9xyz\)

\(9xyz\geq 2xyz\) với mọi $x,y,z\geq 0$

Do đó: \(xy+yz+xz\geq 2xyz\Rightarrow xy+yz+xz-2xyz\geq 0\)

Ta có đpcm.

Vế thứ hai

Áp dụng BĐT Schur bậc 3 ta có (hoặc bạn có thể cm BĐT quen thuộc này bằng AM-GM ngược dấu)

\(xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\)

\(\Leftrightarrow xyz\geq (1-2z)(1-2x)(1-2y)\)

\(\Leftrightarrow xyz\geq 4(xy+yz+xz)-2(x+y+z)+1-8xyz=4(xy+yz+xz)-1-8xyz\)

\(\Rightarrow 9xyz\geq 4(xy+yz+xz)-1\Rightarrow xyz\geq \frac{4}{9}(xy+yz+xz)-\frac{1}{9}\)

Do đó:

\(xy+yz+xz-2xyz\leq xy+yz+xz-2\left(\frac{4}{9}(xy+yz+xz)-\frac{1}{9}\right)=\frac{xy+yz+xz+2}{9}(*)\)

Mà theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:

\(1=(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)\Rightarrow xy+yz+xz\leq \frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow \frac{xy+yz+xz+2}{9}\leq \frac{\frac{1}{3}+2}{9}=\frac{7}{27}(**)\)

Từ \((*);(**)\Rightarrow xy+yz+xz-2xyz\leq \frac{7}{27}\) (đpcm)