Có : 55n + 1 – 55n

= 55n.55 – 55n

= 55n(55 – 1)

= 55n.54

Vì 54 chia hết cho 54 nên 55n.54 luôn chia hết cho 54 với mọi số tự nhiên n.

Vậy 55n + 1 – 55n chia hết cho 54.

Theo đề ra , ta có :

Có : 55^{n + 1} – 55ⁿ

= 55ⁿ . 55 – 55ⁿ

= 55ⁿ ( 55 – 1 )

= 55ⁿ . 54

Vì 54 chia hết cho 54 nên 55n.54 luôn chia hết cho 54 với mọi số tự nhiên n

Vậy 55^{n + 1}  –  55ⁿ chia hết cho 54.

`55^(n+1)-55^n = 55^n . 55 - 55^n`

`= 55^n . (55-1) = 55^n . 54 vdots 54 forall n`

Lời giải:

* CM $A$ chia hết cho $2$

Ta thấy $(7n+1)-n=6n+1$ lẻ, chứng tỏ $7n+1,n$ luôn khác tính chẵn lẻ.

Do đó luôn tồn tại 1 trong 2 số là chẵn

$\Rightarrow A=n(2n+1)(7n+1)$ chẵn, hay $A\vdots 2(*)$

* CM $A$ chia hết cho $3$. Xét modulo $3$ cho $n$:

Nếu $n=3k(k\in\mathbb{Z}$

$\Rightarrow n\vdots 3\Rightarow A=n(2n+1)(7n+1)\vdots 3$

Nếu $n=3k+1\Rightarrow 2n+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)\vdots 3$

$\Rightarrow A=n(2n+1)(7n+1)\vdots 3$

Nếu $n=3k+2\Rightarrow 7n+1=7(3k+2)+1=3(7k+5)\vdots 3$

$\Rightarrow A=n(2n+1)(7n+1)\vdots 3$

Vậy tóm lại $A\vdots 3(**)$

Từ $(*); (**), mà $(2,3)=1$ nên $A\vdots (2.3)$ hay $A\vdots 6$ (đpcm)

Lời giải:

* CM $A$ chia hết cho $2$

Ta thấy $(7n+1)-n=6n+1$ lẻ, chứng tỏ $7n+1,n$ luôn khác tính chẵn lẻ.

Do đó luôn tồn tại 1 trong 2 số là chẵn

$\Rightarrow A=n(2n+1)(7n+1)$ chẵn, hay $A\vdots 2(*)$

* CM $A$ chia hết cho $3$. Xét modulo $3$ cho $n$:

Nếu $n=3k(k\in\mathbb{Z}$

$\Rightarrow n\vdots 3\Rightarow A=n(2n+1)(7n+1)\vdots 3$

Nếu $n=3k+1\Rightarrow 2n+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)\vdots 3$

$\Rightarrow A=n(2n+1)(7n+1)\vdots 3$

Nếu $n=3k+2\Rightarrow 7n+1=7(3k+2)+1=3(7k+5)\vdots 3$

$\Rightarrow A=n(2n+1)(7n+1)\vdots 3$

Vậy tóm lại $A\vdots 3(**)$

Từ $(*); (**), mà $(2,3)=1$ nên $A\vdots (2.3)$ hay $A\vdots 6$ (đpcm)

n có 3 dạng tổng quát là: 3k ; 3k + 1 ; 3k + 2 (k ∈ N)

Trường hợp 1: n = 3k

Thay n = 3k vào n + 2019, ta có:

n + 2019 = 3k + 2019 = 3(k + 673)$⋮3$

$=>\; (n\; +\; 2019)⋮3$

$=>\; (n\; +\; 2017)(n\; +\; 2018)(n\; +\; 2019)⋮3\; (1)$

$Trường\; hợp\; 2:\; n\; =\; 3k\; +\; 1$

$Thay\; n\; =\; 3k\; +\; 1\; vào\; n\; +\; 2018,\; ta\; có:$

$n\; +\; 2018\; =\; 3k\; +\; 1\; +\; 2018\; =\; 3k\; +\; 2019\; =\; 3(k\; +\; 673)⋮3$

$=>\; (n\; +\; 2018)⋮3$

$=>\; (n\; +\; 2017)(n\; +\; 2018)(n\; +\; 2019)⋮3\; (2)$

$Trường\; hợp\; 3:\; n\; =\; 3k\; +\; 2$

$Thay\; n\; =\; 3k\; +\; 2\; vào\; n\; +\; 2017,\; ta\; có:$

$n\; +\; 2017\; =\; 3k\; +\; 2\; +\; 2017\; =\; 3k\; +\; 2019\; =\; 3(k\; +\; 673)⋮3$

$=>\; (n\; +\; 2017)⋮3$

$=>\; (n\; +\; 2017)(n\; +\; 2018)(n\; +\; 2019)⋮3\; (3)$

$Từ\; (1)\; ;\; (2)\; và\; (3)\; =>(n\; +\; 2017)(n\; +\; 2018)(n\; +\; 2019)⋮3\; với\; mọi\; n$∈ N

Vậy $(n\; +\; 2017)(n\; +\; 2018)(n\; +\; 2019)⋮3\; (đpcm)$

ngu cau nay de vai loz

 2⁴ⁿ - 1  = (2⁴)ⁿ - 1 chia hết cho 2⁴ - 1 = 15 

2^4n-1=(2⁴)ⁿ-1 chia hết cho 2⁴-1=15

2^4n-1 chia het cho 15

\(A=n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3\)

\(=n^3+n^3+3n^2+3n+1+n^3+6n^2+12n+8\)

\(=3n^3+9n^2+15n+9\)

\(=3n^2\left(n+1\right)+6n\left(n+1\right)+9\left(n+1\right)\)

\(=3\left(n+1\right)\left(n^2+2n+3\right)\)

\(=3\left(n+1\right)\left[n\left(n+2\right)+3\right]\)

\(=3n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+9\left(n+1\right)\)

Do \(n,n+1,n+2\) là 3 số tự nhiên liên tiếp

\(\Rightarrow3n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮9\)

\(\Rightarrow A=3n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+9\left(n+1\right)⋮9\left(đpcm\right)\)

P/s : Bài này bạn có thể sử dụng phương pháp quy nạp

làm như vậy sẽ nhanh hơn

\(n^3+3n^2+2n=n\left(n^2+3n+2\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\) (vì là 3 số nguyên lt)

\(n^3+3n^2+2n-n\left(n^2+3n+2\right)\)

\(=n\left[n\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)\right]=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Là tích 3 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3

\(\Rightarrow n^3+3n^2+2n=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2.3=6\forall n\in Z\)

\(n^3+3n^2+2n\)

\(=n\left(n^2+3n+2\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\)