a: m>1

a. m>1

a: Để hàm số đồng biến thì m-3>0

hay m>3

b: Thay x=-1 và y=1 vào (d), ta được:

-m+3+m-2=1

hay 1=1(đúng)

a: Để hàm số đồng biến thì m-1>0

hay m>1

Để hàm số nghịch biến thì m-1<0

hay m<1

b: f(1)=2

nên \(m-1+2m-3=2\)

=>3m-4=2

hay m=2

Do đó: \(f\left(x\right)=x+1\)

f(2)=3

c: f(3)=0 nên 3(m-1)+2m-3=0

=>3m-3+2m-3=0

=>5m=6

hay m=6/5

Vậy: \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{5}x-\dfrac{3}{5}\)

=>f(x) đồng biến

 Ta có: y′=x2−2(m+1)x+m2+2my′=x2−2(m+1)x+m2+2m

Để hàm số y=x33−(m+1)x2+(m2+2m)x+1y=x33−(m+1)x2+(m2+2m)x+1 nghịch biến trên $(2;3)$ thì ${}^{}<0$ với mọi x∈(2;3).x∈(2;3).

Tức là khoảng $(2;3)$ nằm trong khoảng hai nghiệm phương trình ${}^{}=0$ (Do y′=x2−2(m+1)x+m2+2my′=x2−2(m+1)x+m2+2m có hệ số của  dương).

{Δ′>0x1≤2<3≤x2⇔⎧⎪ ⎪⎨⎪ ⎪⎩(m+1)2−m2−2m>0(x1−2)(x2−2)≤0(x1−3)(x2−3)≤0⇔⎧⎪⎨⎪⎩1>0x1x2−2(x1+x2)+4≤0x1x2−3(x1+x2)+9≤0{Δ′>0x1≤2<3≤x2⇔{(m+1)2−m2−2m>0(x1−2)(x2−2)≤0(x1−3)(x2−3)≤0⇔{1>0x1x2−2(x1+x2)+4≤0x1x2−3(x1+x2)+9≤0

⇔{m2+2m−2.2.(m+1)+4≤0m2+2m−3.2.(m+1)+9≤0⇔{m2−2m≤0m2−4m+3≤0⇔{0≤m≤21≤m≤3⇔1≤m≤2

Ta có: y′=x2−2(m+1)x+m2+2my′=x2−2(m+1)x+m2+2m

Để hàm số y=x33−(m+1)x2+(m2+2m)x+1y=x33−(m+1)x2+(m2+2m)x+1 nghịch biến trên (2;3)(2;3) thì y′<0y′<0 với mọi x∈(2;3).x∈(2;3).

Tức là khoảng (2;3)(2;3) nằm trong khoảng hai nghiệm phương trình y′=0y′=0 (Do y′=x2−2(m+1)x+m2+2my′=x2−2(m+1)x+m2+2m có hệ số của x2x2 dương).

{Δ′>0x1≤2<3≤x2⇔⎧⎪ ⎪⎨⎪ ⎪⎩(m+1)2−m2−2m>0(x1−2)(x2−2)≤0(x1−3)(x2−3)≤0⇔⎧⎪⎨⎪⎩1>0x1x2−2(x1+x2)+4≤0x1x2−3(x1+x2)+9≤0{Δ′>0x1≤2<3≤x2⇔{(m+1)2−m2−2m>0(x1−2)(x2−2)≤0(x1−3)(x2−3)≤0⇔{1>0x1x2−2(x1+x2)+4≤0x1x2−3(x1+x2)+9≤0

⇔{m2+2m−2.2.(m+1)+4≤0m2+2m−3.2.(m+1)+9≤0⇔{m2−2m≤0m2−4m+3≤0⇔{0≤m≤21≤m≤3⇔1≤m≤2

Lời giải:
a. $y=mx-x^2-2x+mx^2+m=x^2(m-1)+x(m-2)+m$

Lấy $x_1,x_2\in R$ sao cho $x_1\neq x_2$

$y(x_1)=x_1^2(m-1)+x_1(m-2)+m$

$y(x_2)=x_2^2(m-1)+x_2(m-2)+m$
Để hàm đồng biến thì:

$\frac{y(x_1)-y(x_2)}{x_1-x_2}>0$

$\Leftrightarrow \frac{x_1^2(m-1)+x_1(m-2)+m-[x_2^2(m-1)+x_2(m-2)+m]}{x_1-x_2}>0$

$\Leftrightarrow \frac{(m-1)(x_1^2-x_2^2)+(m-2)(x_1-x_2)}{x_1-x_2}>0$

$\Leftrightarrow (m-1)(x_1+x_2)+(m-2)>0$ 

Với mọi $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ thì không có cơ sở để tìm $m$ sao cho hàm đồng biến.

b.

Xét tương tự câu 1, với $x_1\neq x_2\in \mathbb{R}$ thì hàm đồng biến khi:

$(m^2-3m+2)(x_1+x_2)+(m-1)>0$

Với mọi $x_1, x_2\in\mathbb{R}$ thì điều này xảy ra khi:

$m^2-3m+2=0$ và $m-1>0$

$\Leftrightarrow (m-1)(m-2)=0$ và $m-1>0$

$\Leftrightarrow m=2$

Mọi \(x_1;x_2\in\left(1;2\right)\)

G/s: \(x_1< x_2\)

Xét \(\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{\left(-x_1^2+\left(m-1\right)x_1+2\right)-\left(-x_2^2+\left(m-1\right)x_2+2\right)}{x_1-x_2}\)

\(=\frac{-\left(x_1^2-x_2^2\right)+\left(m-1\right)\left(x_1-x_2\right)}{\left(x_1-x_2\right)}\)

\(=-\left(x_1+x_2\right)+m-1\)

Để hàm số nghịch biến thì \(\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}< 0\Leftrightarrow m+1< x_1+x_2< 2+2\)=> \(m< 3\)