Sửa đề: Cho ba số thực a,b,c dương

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz, ta được:

\(VT=\left(a+b+c\right)\left(\frac{9}{bc}+\frac{25}{c+a}+\frac{64}{a+b}\right)-98\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{256}{2\left(a+b+c\right)}\right)-98=30\)

\(\Leftrightarrow VT\ge30\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\frac{8}{a+b}=\frac{5}{c+a}=\frac{3}{b+c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{8}{a+b}=\frac{8}{a+b+2c}\)

hay c=0(vô lý)

=> Dấu bằng không xảy ra

=>ĐPCM

đề có cho thêm dữ kiện gì nữa k

Đặt \(\left(b+c,c+a,a+b\right)\rightarrow\left(x,y,z\right)\)thì \(x,y,z>0\)và \(a=\frac{y+z-x}{2};b=\frac{z+x-y}{2};c=\frac{x+y-z}{2}\)

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: \(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{25\left(z+x-y\right)}{2y}+\frac{4\left(x+y-z\right)}{2z}>2\)

Xét \(VT=\left(\frac{y}{2x}+\frac{z}{2x}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{25z}{2y}+\frac{25x}{2y}-\frac{25}{2}\right)+\left(\frac{2x}{z}+\frac{2y}{z}-2\right)\)\(=\left(\frac{y}{2x}+\frac{25x}{2y}\right)+\left(\frac{25z}{2y}+\frac{2y}{z}\right)+\left(\frac{z}{2x}+\frac{2x}{z}\right)-15\)\(\ge2\sqrt{\frac{y}{2x}.\frac{25x}{2y}}+2\sqrt{\frac{25z}{2y}.\frac{2y}{z}}+2\sqrt{\frac{z}{2x}.\frac{2x}{z}}-15=2\)(BĐT Cauchy)

Đẳng thức xảy ra khi \(10x=2y=5z\)hay \(10\left(b+c\right)=2\left(c+a\right)=5\left(a+b\right)\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}10b+8c=2a\\5b+10c=5a\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2a=10b+8c\\2a=2b+4c\end{cases}}\Leftrightarrow8b+4c=0\)(Vô lí vì 8b + 4c > 0 với mọi b,c dương)

Vậy dấu bằng không xảy ra

em chao chi a

sao lại chào chị

Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{2}{y};c=\frac{3}{z}\)

Theo bài ra, ta có:

 x+y+z=3

\(bđt\Leftrightarrow\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2}\ge\frac{3}{2}\)

Áp dụng kĩ thuật Cau-chy ngược dấu ta có:

\(\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2}\ge\frac{x+y+z}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu '=' xảy ra <=> a=3;b=2;c=1

*Bài khá giống bạn kia :)

Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{2}{y};c=\frac{3}{z}\)

\(\Rightarrow x+y+z=3\)

BĐT cần chứng minh trở thành :

\(\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2}\ge\frac{3}{2}\)

Áp dụng kĩ thuật Cô Si ngược dấu ta có :

\(\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2}\ge\frac{x+y+z}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=3;b=2;c=1\) 

1. Đề thiếu

2. BĐT cần chứng minh tương đương:

\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)

Ta có:

\(a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\dfrac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)^2\ge\dfrac{1}{3}.3abc\left(a+b+c\right)\) (đpcm)

3.

Ta có:

\(\left(a^6+b^6+1\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(a^3+b^3+1\right)^2\)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+1+b^3+c^3+1+c^3+a^3+1\right)\)

\(VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

Lại có:

\(a^3+b^3+1\ge3ab\) ; \(b^3+c^3+1\ge3bc\) ; \(c^3+a^3+1\ge3ca\)

\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge3\left(ab+bc+ca\right)=9\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)

\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{6}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\)

4.

Ta có:

\(a^3+1+1\ge3a\) ; \(b^3+1+1\ge3b\) ; \(c^3+1+1\ge3c\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+6\ge3\left(a+b+c\right)=9\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)

5.

Ta có:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}}\) ; \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{b}}\) ; \(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{c}{b}}+\sqrt{\dfrac{a}{c}}\le\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=1\)

Câu 1:

\(VT=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\)

\(VT=1-\dfrac{1}{n}< 1\) (đpcm)