Cho phương trình \(log_{\sqrt{mx-5}}\left(x^2+2x-6\right)=2log_{mx-5}\left(2x^2-5x+4\right)\) có nghiệm duy nhất
Xác định m để hệ phương trình có hai cặp nghiệm phân biệt
\(\begin{cases}\log_{\sqrt{3}}\left(x+1\right)-\log_{\sqrt{3}}\left(x-1\right)>\log_34\left(1\right)\\\log_2\left(x^2-2x+5\right)-m\log_{x^2-2x+5}2=5\left(2\right)\end{cases}\)
Điều kiện x>1
Từ (1) ta có \(\log_{\sqrt{3}}\frac{x+1}{x-1}>\log_34\) \(\Leftrightarrow\frac{x+1}{x-1}>2\) \(\Leftrightarrow\) 1<x<3
Đặt \(t=\log_2\left(x^2-2x+5\right)\)
Tìm điều kiện của t :
- Xét hàm số \(f\left(x\right)=\log_2\left(x^2-2x+5\right)\) với mọi x thuộc (1;3)
- Đạo hàm : \(f\left(x\right)=\frac{2x-2}{\ln2\left(x^2-2x+5\right)}>\) mọi \(x\in\left(1,3\right)\)
Hàm số đồng biến nên ta có \(f\left(1\right)\) <\(f\left(x\right)\) <\(f\left(3\right)\) \(\Leftrightarrow\)2<2<3
- Ta có \(x^2-2x+5=2'\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-1\right)^2=2'-4\)
Suy ra ứng với mõi giá trị \(t\in\left(2,3\right)\) ta luôn có 1 giá trị \(x\in\left(1,3\right)\)
Lúc đó (2) suy ra : \(t-\frac{m}{t}=5\Leftrightarrow t^2-5t=m\)
Xét hàm số : \(f\left(t\right)=t^2-5t\) với mọi \(t\in\left(2,3\right)\)
- Đạo hàm : \(f'\left(t\right)=2t-5=0\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}\)
- Bảng biến thiên :
x | 2 \(\frac{5}{2}\) 3 |
y' | + 0 - |
y | -6 -6 -\(\frac{25}{4}\) |
Để hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow-6>-m>-\frac{25}{4}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{25}{4}\) <m<6
Bài 2 : Cho hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=5\left(1\right)\\2mx+3y=6\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất(x;y) thỏa mãn:
(2m - 1)x + (m + 1)y = m (3)
Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{m}{2m}\ne\dfrac{1}{3}\)
=>\(\dfrac{1}{2}\ne\dfrac{1}{3}\)(luôn đúng)
\(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=5\\2mx+3y=6\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}2mx+2y=10\\2mx+3y=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-y=4\\mx+y=5\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=-4\\mx=5-y=5-\left(-4\right)=9\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=-4\\x=\dfrac{9}{m}\end{matrix}\right.\)
\(\left(2m-1\right)\cdot x+\left(m+1\right)\cdot y=m\)
=>\(\dfrac{9}{m}\left(2m-1\right)+\left(m+1\right)\cdot\left(-4\right)=m\)
=>\(\dfrac{9\left(2m-1\right)}{m}=m+4m+4=5m+4\)
=>m(5m+4)=18m-9
=>\(5m^2-14m+9=0\)
=>(m-1)(5m-9)=0
=>\(\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=\dfrac{9}{5}\end{matrix}\right.\)
Cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}mx+2y=18\\x-y=-6\end{matrix}\right.\) (m là tham số). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn \(2x+y=9\\\)
Kết hợp điều kiện đề bài và pt thứ 2 của hệ ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x-y=-6\\2x+y=9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=7\end{matrix}\right.\)
Thế vào pt đầu:
\(m.1+2.7=18\Rightarrow m=4\)
Bài 3: Cho hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}mx-y=1\\2x+my=4\end{matrix}\right.\)
a) Giải hệ khi m=1
b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x+y=2
a: Thay m=1 vào hệ phương trình, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x-y=1\\2x+y=4\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}3x=5\\x-y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{3}\\y=x-1=\dfrac{5}{3}-1=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)
b: Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{m}{2}\ne-\dfrac{1}{m}\)
=>\(m^2\ne-2\)(luôn đúng)
\(\left\{{}\begin{matrix}mx-y=1\\2x+my=4\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=mx-1\\2x+m\left(mx-1\right)=4\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=mx-1\\x\left(m^2+2\right)=m+4\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{m+4}{m^2+2}\\y=\dfrac{m\left(m+4\right)}{m^2+2}-1=\dfrac{m^2+4m-m^2-2}{m^2+2}=\dfrac{4m-2}{m^2+2}\end{matrix}\right.\)
x+y=2
=>\(\dfrac{m+4+4m-2}{m^2+2}=2\)
=>\(2m^2+4=5m+2\)
=>\(2m^2-5m+2=0\)
=>(2m-1)(m-2)=0
=>\(\left[{}\begin{matrix}2m-1=0\\m-2=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{1}{2}\\m=2\end{matrix}\right.\)
Cho hệ phương trình:\(\left\{{}\begin{matrix}mx+2y=18\\x-y=-6\end{matrix}\right.\) (m là tham số)
a.Giải hệ phương trình trên với m=1
b.Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn 2x+y=9
a. Với `m=1`, ta có HPT: \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=18\\x-y=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=-6\\3y=24\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=8\end{matrix}\right.\)
b. Theo đề bài `=>` \(\left\{{}\begin{matrix}mx+2y=18\\x-y=-6\\2x+y=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}mx+2y=18\\x=1\\y=7\end{matrix}\right.\)
`=> m=4`
a) Thay m=1 vào hệ phương trình, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=18\\x-y=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3y=24\\x-y=-6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=8\\x=-6+y=-6+8=2\end{matrix}\right.\)
cho hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=4\\x+2y=5\end{matrix}\right.\)
tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x > y > 0
Lời giải:
$x+2y=5\Leftrightarrow x=5-2y$. Thay vô pt $(1)$
$m(5-2y)+y=4$
$\Leftrightarrow y(1-2m)=4-5m$
Để pt có nghiệm duy nhất thì $1-2m\neq 0\Leftrightarrow m\neq \frac{1}{2}$
Khi đó: $y=\frac{4-5m}{1-2m}$
$x=5-2y=5-\frac{2(4-5m)}{1-2m}=\frac{-3}{1-2m}$
$x>0\Leftrightarrow \frac{-3}{1-2m}>0\Leftrightarrow 1-2m<0\Leftrightarrow m> \frac{1}{2}(1)$
$y>0\Leftrightarrow \frac{4-5m}{1-2m}>0\Leftrightarrow 4-5m<0$ (do $1-2m< 0$
$\Leftrightarrow m> \frac{4}{5}(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow m> \frac{4}{5}$
$x> y\Leftrightarrow \frac{-3}{1-2m}> \frac{4-5m}{1-2m}$
$\Leftrightarrow \frac{5m-7}{1-2m}>0$
$\Leftrightarrow 5m-7< 0$ (do $1-2m<0$)
$\Leftrightarrow m< \frac{7}{5}$
Vậy $\frac{4}{5}< m< \frac{7}{5}$
Lời giải:
$x+2y=5\Leftrightarrow x=5-2y$. Thay vô pt $(1)$
$m(5-2y)+y=4$
$\Leftrightarrow y(1-2m)=4-5m$
Để pt có nghiệm duy nhất thì $1-2m\neq 0\Leftrightarrow m\neq \frac{1}{2}$
Khi đó: $y=\frac{4-5m}{1-2m}$
$x=5-2y=5-\frac{2(4-5m)}{1-2m}=\frac{-3}{1-2m}$
$x>0\Leftrightarrow \frac{-3}{1-2m}>0\Leftrightarrow 1-2m<0\Leftrightarrow m> \frac{1}{2}(1)$
$y>0\Leftrightarrow \frac{4-5m}{1-2m}>0\Leftrightarrow 4-5m<0$ (do $1-2m< 0$
$\Leftrightarrow m> \frac{4}{5}(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow m> \frac{4}{5}$
$x> y\Leftrightarrow \frac{-3}{1-2m}> \frac{4-5m}{1-2m}$
$\Leftrightarrow \frac{5m-7}{1-2m}>0$
$\Leftrightarrow 5m-7< 0$ (do $1-2m<0$)
$\Leftrightarrow m< \frac{7}{5}$
Vậy $\frac{4}{5}< m< \frac{7}{5}$
Cho biết phương trình: log5\(\dfrac{2\sqrt{x}+1}{x}=2log_3\left(\dfrac{\sqrt{x}}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)\) có nghiệm duy nhất x = a + b\(\sqrt{2}\) . Hỏi m = ? để hàm số y = \(\dfrac{mx+a-2}{x-m}\) có GTLN trên đoạn \(\left[1;2\right]\) bằng -2
Giống bài trước, \(x=3+2\sqrt{2}\) là nghiệm
\(\Rightarrow y=\dfrac{mx+1}{x-m}\Rightarrow y'=\dfrac{-m^2-1}{\left(x-m\right)^2}\) nghịch biến trên miền xác định
\(\Rightarrow\max\limits_{\left[1;2\right]}y=y\left(1\right)=\dfrac{m+1}{1-m}=-2\Rightarrow m\)
1)Cho hệ pt : \(\left\{{}\begin{matrix}2x+3y=m\\-5x+y=-1\end{matrix}\right.\)
Tìm m để hệ pt có nghiệm x>0 ,y>0
2) Cho pt\(mx^2-2\left(m-1\right)x+m-1=0\) (m là tham số)
Tìm m để pt có nghiệm kép ,có nghiệm duy nhất
\(2)mx^2-2\left(m-1\right)x+m-1=0\)
Để pt có nghiệm kép \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\\Delta=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4m\left(m-1\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow4\left(m^2-2m+1\right)-4m^2+4m=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-4m^2+4m=0\)
\(\Leftrightarrow-4m+4=0\)
\(\Leftrightarrow m=1\)
Vậy để pt trên có nghiệm kép thì \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m=1\end{matrix}\right.\)
Đề bài: Giải phương trình sau trên tập số thực:
\(\sqrt{5x^{2}-14x+9}-\sqrt{x^{2}-x-20}=5\sqrt{x+1}\)
Bài giải: Điều kiện \(x\geqslant 5\)
Chuyển vế và bình phương hai vế phương trình ta có
\(2x^{2}-5x+2=5\sqrt{\left ( x^{2}-x-20 \right )\left ( x+1 \right )}\)
\(2x^{2}-5x+2=5\sqrt{\left ( x^{2}-4x-5 \right )\left ( x+4 \right )}\)
Ta cần tìm các hằng số \(a,b\) sao cho
\(a\left ( x^{2}-4x-5 \right )+b\left ( x+4 \right )=2x^{2}-5x+2\)
Đồng nhất hai vế đẳng thức trên ta có hệ phương trình
\(\left\{\begin{matrix} a=2 & & \\ -4a+b=-5 & & \\ -5a+4b=2 & & \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2 & & \\ b=3 & & \end{matrix}\right.\)
Đặt \(u=\sqrt{x^{2}-4x-5}; v=\sqrt{x+4}\), ta có phương trình
\(2a^{2}+3b^{2}=5ab\Leftrightarrow \left ( a-b \right )\left ( 2a-3b \right )=0\)
TH1: \(a=b\) thì \(x=\frac{5+\sqrt{61}}{2}\)
TH2: \(2a=3b\) thì \(x=8\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x=8;x=\frac{5+\sqrt{61}}{2}\)
đây mà là toán lp 2 á đùa tôi đấy à