1.

Đặt \(P=\left|\overrightarrow{AD}+3\overrightarrow{AB}\right|\Rightarrow P^2=AD^2+9AB^2+6\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}\)

\(=AD^2+9AB^2=10AB^2=10a^2\)

\(\Rightarrow P=a\sqrt{10}\)

2.

Tam giác ABC đều nên AM là trung tuyến đồng thời là đường cao \(\Rightarrow AM\perp BM\)

\(AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) ; \(BM=\dfrac{a}{2}\)

\(T=\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right|\)

\(\Rightarrow T^2=MA^2+4MB^2+4\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MA^2+4MB^2\)

\(=\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2+4\left(\dfrac{a}{2}\right)^2=\dfrac{7a^2}{4}\Rightarrow T=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}\)

3.

\(T=\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CG}\right|=\left|\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}\right|=\left|\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\right|\)

\(=\left|\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right|\Rightarrow T^2=\dfrac{16}{9}AB^2+\dfrac{4}{9}AC^2-\dfrac{16}{9}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\)

\(=\dfrac{20}{9}AB^2-\dfrac{16}{9}AB^2.cos60^0=\dfrac{20}{9}a^2-\dfrac{16}{9}a^2.\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{3}a^2\)

\(\Rightarrow T=\dfrac{2a}{\sqrt{3}}\)

một đường tròn

a.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow T=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right|\)

\(=\left|3\overrightarrow{MG}\right|=3\left|\overrightarrow{MG}\right|\)

\(\Rightarrow T_{min}\) khi và chỉ khi \(MG_{min}\Rightarrow MG=0\) hay M trùng G

Theo công thức trọng tâm: \(\left\{{}\begin{matrix}x_M=\dfrac{2-1+6}{3}=\dfrac{7}{3}\\y_M=\dfrac{3-1+0}{3}=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(\dfrac{7}{3};\dfrac{2}{3}\right)\)

b.

Tương tự câu a, ta có \(T=3\left|\overrightarrow{MG}\right|\) đạt min  khi MG đạt min

\(\Rightarrow\) M là hình chiếu vuông góc của G lên Ox

Mà \(G\left(\dfrac{7}{3};\dfrac{2}{3}\right)\Rightarrow M\left(\dfrac{7}{3};0\right)\)

c.

Do M thuộc Ox nên tọa độ có dạng: \(M\left(m;0\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(2-m;3\right)\\\overrightarrow{MB}=\left(-1-m;-1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{u}=\left(3m+6;7\right)\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{\left(3m+6\right)^2+7^2}\ge\sqrt{0+7^2}=7\)

Dấu "=" xảy ra khi \(3m+6=0\Rightarrow m=-2\)

\(\Rightarrow M\left(-2;0\right)\)

Gọi G là trọng tâm ΔABC

⇒ VT = 6MG

VP  = \(\left|2\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)+\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MA}\right|\)

VP = \(\left|6\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{AC}\right|\)

Xác định điểm I sao cho \(6\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\) (cái này chắc bạn làm được)

VP = \(\left|6\overrightarrow{MI}+6\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{AC}\right|\)

VP = 6 MI

Khi VT = VP thì MG = MI

⇒ M nằm trên đường trung trực của IG

Tập hợp các điểm M : "Đường trung trực của IG"

Lời giải:

a.

\(|\overrightarrow{MC}|=|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{BA|}\)

Tập hợp điểm $M$ thuộc đường tròn tâm $C$ đường bán kính $AB$

b. Gọi $I$ là trung điểm $AB$. Khi đó:

\(|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}|\)

\(=|2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}|=|2\overrightarrow{MI}|=0\)

\(\Leftrightarrow |\overrightarrow{MI}|=0\Leftrightarrow M\equiv I\)

Vậy điểm $M$ là trung điểm của $AB$

c.

Trên tia đối của tia $CA$ lấy $K$ sao cho $KC=\frac{1}{3}CA$

\(|\overrightarrow{MA}|=2|\overrightarrow{MC}|\Leftrightarrow |\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KA}|=2|\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KC}|\)

\(\Leftrightarrow |\overrightarrow{MK}+4\overrightarrow{KC}|=|2\overrightarrow{MK}+2\overrightarrow{KC}|\)

\(\Leftrightarrow (\overrightarrow{MK}+4\overrightarrow{KC})^2=(2\overrightarrow{MK}+2\overrightarrow{KC})^2\)

\(\Leftrightarrow MK^2+16KC^2=4MK^2+4KC^2\)

\(\Leftrightarrow 12KC^2=3MK^2\Leftrightarrow MK=2KC=\frac{2}{3}AC\)

Vậy $M$ thuộc đường tròn tâm $K$ bán kính $\frac{2}{3}AC$

d.
Gọi $I$ là trung điểm $BC$

\(|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}|\)

\(\Leftrightarrow |\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}|=|\overrightarrow{CB}|\)

\(\Leftrightarrow |2\overrightarrow{MI}|=|\overrightarrow{CB}|\Leftrightarrow |\overrightarrow{MI}|=\frac{|\overrightarrow{CB}|}{2}\)

Vậy điểm $M$ thuộc đường tròn tâm $I$ bán kính $\frac{BC}{2}$