Gọi h là khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C)

Khi đó

Vì AC 2 = B ' C 2 = 5 a 2  nên tam giác ACB’ cân tại C. Do đó, đường trung tuyến CI của tam giác ACB’ cũng là đường cao.

Ta có:

Do đó

Từ đó suy ra

ta có : 

\(V_{M.AB'C}=V_{B'.MAC}=\frac{B'B.S_{ABC}}{3}\)

Mà BB'=A'A=a

\(S_{AMC}=\frac{CD.AM}{2}=\frac{a.2a}{2.3}=\frac{a^2}{3}\)

=> \(V_{M.AB'C}=\frac{a^3}{9}\) (1)

=> d_M,(AB'C)=\(\frac{3.V_{M.AB'C}}{S_{AB'C}}\)  (2)

tam giác AB'C cps \(AB=B'C=2\sqrt{3}\)

và \(AB=a\sqrt{2}\)

=>\(S_{AB'C}=\frac{a^2\sqrt{5}}{2}\)                    (3)

Từ (1), (2)&(3)

=> d_{M;(AB'C)=\(\frac{2a}{3\sqrt{a}}\)}

Pytago tính đuợc 3 cạnh $\Delta AMC$

$\mathrm{\backslash (AC=a\backslash sqrt\{5\}\backslash )}\sqrt{\mathrm{;}}$$\backslash (AM=\backslash frac\{3a\}\{2\}\backslash )$,         \(MC=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)

Dùng công thức $Heron$

\(V_{M.AB'C}=V_{B.AB'C}=\frac{a^3}{4}\)

Mặt khác dùng công thức $Heron$ cũng tính được \(S_{AB'C}=\frac{3a^2}{2}\)

=> \(d_{\left(M;\left(AB'C\right)\right)}=\frac{3V_{M.AB'C}}{S_{AB'C}}=\frac{a}{2}\)

Thể tích khối chóp M.AB’C bằng thể tích khối chóp B’AMC. Ta có:

Do đó

Đáp án C

Đáp án D

Gọi E là giao điểm của NP và CD. Gọi G là giao điểm của NP và CC’. Gọi K là giao điểm của MG và B’C’. Gọi Q là giao điểm của ME và AD. Khi đó mặt phẳng (MNP) chính là mặt phẳng (MEG). Gọi d 1 ,   d 2  lần lượt là khoảng cách từ C, A đến mặt phẳng (MEG). Do AC cắt (MEG) tại điểm H (như hình vẽ) nên d 1 d 2 = H C H A . Do tứ diện CMEG là tứ diện vuông tại C nên

1 d 1 2 = 1 C M 2 + 1 C E 2 + 1 C G 2

Ta có G C ' G C = C ' N C E = 1 3  

Suy ra G C = 3 2 C C ' = 9 a 2  

Như vậy: 1 d 1 2 = 1 a 2 + 4 9 a 2 + 4 81 a 2  

Từ đó d 1 2 = 81 a 2 12 ⇒ d 1 = 9 11 . Ta có Q D M C = E D E C = 1 3 ⇒ Q D = a 3  

Ta có Δ H C M đồng dạng với Δ H A Q  nên:

H C H A = M C A Q = a 2 a − a 3 = 3 5 ⇒ d 1 d 2 = 3 5 ⇒ d 2 = 5 3 d 1 = 5.9 a 3.11 = 15 a 11

Chọn D