Ta có: \(AB = BC = CD = DA = 1;\)

            \(AC = BD = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{1^2} + {1^2}}  = \sqrt 2 \)

a) \(\overrightarrow a  = \overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {DO}  = \left( {\overrightarrow {DO}  + \overrightarrow {OB} } \right) = \overrightarrow {DB} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = DB = \sqrt 2 \)

b)  \(\overrightarrow b = \left( {\overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OA} } \right) + \left( {\overrightarrow {DB}  - \overrightarrow {DC} } \right)\)

   \( = \left( {\overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {AO} } \right) + \left( {\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {CD} } \right) = \left( {\overrightarrow {AO}  + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB} } \right)\)

   \( = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {AB} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = 1\)

Chú ý khi giải:

Khi có dấu trừ phía trước ta thường thay bằng vectơ đối của nó và ngược lại

Gọi N là trung điểm BC

\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}+2\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{OC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|2\overrightarrow{MO}+2\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{OC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|2\overrightarrow{MC}+2\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right|\)

\(\Leftrightarrow4\left|\overrightarrow{MN}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{BD}\right|=4\left|\overrightarrow{MN}\right|=4\left|\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{MD}\right|\ge4MD-4DN\)

\(\Rightarrow4MD\le BD+4DN\)

\(\Leftrightarrow MD\le\dfrac{BD+4DN}{4}=\dfrac{a\sqrt{2}+2a\sqrt{5}}{4}=\dfrac{2\sqrt{5}+\sqrt{2}}{4}a\)

Tham khảo:

\(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BA} \) do hai vectơ \(\overrightarrow {CD} ,\;\overrightarrow {BA} \) cùng hướng và \(CD = BA\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CA} \\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA\end{array}\)

Xét tam giác ABC, ta có:

\(BA = BC\) và \(\widehat {BAC} = \frac{1}{2}.\widehat {BAD} = {60^o}\)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) đều, hay \(CA = BC = 1\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CD} } \right| = 1.\)

Dựa vào tính chất kết hợp, ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BA}  = \left( {\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {CD} } \right) + \overrightarrow {BA} \\ = \left( {\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB} } \right) + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CA} .\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA = 1.\end{array}\)

Tham khảo:

Dễ thấy: \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MA} \); \(\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MB} \)

Tương tự: \(\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {NC} \); \(\overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {ND} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {NC} } \right) + \left( {\overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {ND} } \right)\\ = \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {ND} } \right)\\ = \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {ON} \\ = \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {ON} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {ON} } \right)\\ = \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0 \\ = \overrightarrow 0 .\end{array}\)

1: \(=\left|\overrightarrow{CO}-\overrightarrow{CB}\right|=BO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

Đặt \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)\)

\(=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)

\(=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AD}\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|\frac{3}{2}\overrightarrow{AD}\right|=\frac{9}{2}\)

Đề là \(AB=4\) hay \(AD=4\) nhỉ? Sao lại có 2 kích thước của AD?

a) Do ABCD cũng là một hình bình hành nên \(\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {DB} \)

\( \Rightarrow \;|\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DC} |\; = \;|\overrightarrow {DB} |\; = DB = a\sqrt 2 \)

b) Ta có: \(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {AB} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {DB} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = DB = a\sqrt 2 \)

c) Ta có: \(\overrightarrow {DO}  = \overrightarrow {OB} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {DO}  = \overrightarrow {DO}  + \overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {DA} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {DA} } \right| = DA = a.\)