Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến \(T_{\vec{a}}\):

\(\left\{{}\begin{matrix}x'=x+2\\y'=y-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=x'-2\\y=y'+1\end{matrix}\right.\)

Vì \(M\left(x;y\right)\in C\): \(\left(x-1\right)^2+\left(y+5\right)^2=8\)

\(\Leftrightarrow\left(x'-3\right)^2+\left(y'+6\right)^2=8\)

\(\Leftrightarrow M'\left(x';y'\right)\in\left(C'\right):\left(x-3\right)^2+\left(y+6\right)^2=8\)

Vậy ảnh của \(\left(C\right)\) là \(\left(x-3\right)^2+\left(y+6\right)^2=8\)

(C) có tâm \(I\left(-1;2\right)\), bán kính \(R=4\), (C') có tâm \(I'\left(10;-5\right)\), bán kính \(R'=4\). Vậy \(\left(C'\right)=T_{\overrightarrow{v}}\left(C\right),\overrightarrow{v}=\overrightarrow{II}=\left(11;-7\right)\)

Đường tròn (C1) có tâm I(1;-2) bán kính \(R=\sqrt{5}\)

Đường tròn (C2) có tâm \(J\left(-1;-3\right)\) bán kính \(R=3\)

Áp dụng Pitago: \(d\left(J;d\right)=\sqrt{R^2-\left(\frac{AB}{2}\right)^2}=\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow d\left(I;d\right)=d\left(J;d\right)\Rightarrow d//IJ\) (dễ dàng loại trường hợp d đi qua trung điểm của IJ, vì trung điểm của IJ nằm trong (C1))

\(\overrightarrow{JI}=\left(2;1\right)\Rightarrow\) d nhận \(\left(1;-2\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d có dạng: \(x-2y+c=0\)

\(d\left(I;d\right)=\sqrt{5}\Rightarrow\frac{\left|1.1-\left(-2\right).2+c\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow\left|c+5\right|=5\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=0\\c=-10\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường thẳng thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}x-2y=0\\x-2y-10=0\end{matrix}\right.\)

1:

\(=\left(\dfrac{1}{x-2\sqrt{x}}+\dfrac{2}{3\sqrt{x}-6}\right):\dfrac{2\sqrt{x}+3}{3\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{3+2\sqrt{x}}{3\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\cdot\dfrac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+3}=\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}\)

Gọi \(I\left(-1;2\right)\) là tâm đường tròn (C)

\(\overrightarrow{AB}=\left(2;2\right)\)

Gọi I' là ảnh của I qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{AB}\Rightarrow I'\left(1;4\right)\)

Phương trình (C') là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến nói trên là:

\(\left(x-1\right)^2+\left(y-4\right)^2=4\)

Đường tròn (C) tâm \(I\left(-2;2\right)\) bán kính \(R=3\)

Do d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến nên pt d' có dạng \(4x+3y+c=0\)

d' tiếp xúc (C) \(\Leftrightarrow d\left(I;d'\right)=R\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left|-8+6+c\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=3\Rightarrow\left|c-2\right|=15\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=17\\c=-13\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường thẳng d': \(\left[{}\begin{matrix}4x+3y+17=0\\4x+3y-13=0\end{matrix}\right.\)

Chọn \(A\left(0;\frac{1}{3}\right)\in d\)

Gọi A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến T thì \(A'\left(a;2-a+\frac{1}{3}\right)\Rightarrow A'\left(a;\frac{7}{3}-a\right)\)

Do \(A'\in d'\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4a+3\left(\frac{7}{3}-a\right)+17=0\\4a+3\left(\frac{7}{3}-a\right)-13=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-24\\a=-6\end{matrix}\right.\)