Chọn A.

Ta có:

sinx + cosx = ½ nên ( sinx + cosx)² = ¼

Do đó sinx. cosx = -3/8

Khi đó sinx; cosx là nghiệm của phương trình 

Ta có sinx + cos x = ½ nên 2( sinx + cosx) = 1

+) Với 

+) Với 

Chọn A.

Từ giả thiết ta suy ra: (sinx+ cosx) ² = ¼

Suy ra: 2sinx.cosx = -3/4  hay sinx.cosx = -3/8

Khi đó sinx; cosx  là nghiệm của phương trình 

Do sinx + cosx = ½ nên 2(sinx + cosx) = 1

+) Với 

+) Với 

1.

\(2sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)+sinx+2cosx=3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3}sinx+cosx+sinx+2cosx=3\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{3}+1\right)sinx+3cosx=3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{13+2\sqrt{3}}\left[\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{13+2\sqrt{3}}}sinx+\dfrac{3}{\sqrt{13+2\sqrt{3}}}cosx\right]=3\)

Đặt \(\alpha=arcsin\dfrac{3}{\sqrt{13+2\sqrt{3}}}\)

\(pt\Leftrightarrow\sqrt{13+2\sqrt{3}}sin\left(x+\alpha\right)=3\)

\(\Leftrightarrow sin\left(x+\alpha\right)=\dfrac{3}{\sqrt{13+2\sqrt{3}}}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+\alpha=arcsin\dfrac{3}{\sqrt{13+2\sqrt{3}}}+k2\pi\\x+\alpha=\pi-arcsin\dfrac{3}{\sqrt{13+2\sqrt{3}}}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k2\pi\\x=\pi-2arcsin\dfrac{3}{\sqrt{13+2\sqrt{3}}}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm:

\(x=k2\pi;x=\pi-2arcsin\dfrac{3}{\sqrt{13+2\sqrt{3}}}+k2\pi\)

2.

\(\left(sin2x+cos2x\right)cosx+2cos2x-sinx=0\)

\(\Leftrightarrow2sinx.cos^2x+cos2x.cosx+2cos2x-sinx=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2cos^2x-1\right)sinx+cos2x.cosx+2cos2x=0\)

\(\Leftrightarrow cos2x.sinx+cos2x.cosx+2cos2x=0\)

\(\Leftrightarrow cos2x.\left(sinx+cosx+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow cos2x=0\)

\(\Leftrightarrow2x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\)

a) <=> 4sinxcosx -(2cos²x-1)=7sinx+2cosx-4

<=> 2cos²x+(2-4sinx)cosx+7sinx-5=0

- sinx=1 => 2cos²x-2cosx+2=0 

pt trên vn

b) <=> 2sinxcosx-1+2sin²x+3sinx-cosx-1=0

<=> cos(2sinx-1)+2sin²x+3sinx-2=0

<=> cosx(2sinx-1)+(2sinx-1)(sinx+2)=0

<=> (2sinx-1)(cosx+sinx+2)=0

<=> sinx=1/2 hoặc cosx+sinx=-2(vn)

<=> x= \(\frac{\pi}{6}+k2\pi\) hoặc \(x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi\left(k\in Z\right)\)

tan x=-2

=>sin x/cosx=-2

=>sin x=-2*cosx

\(1+tan^2x=\dfrac{1}{cos^2x}\)

=>\(\dfrac{1}{cos^2x}=1+2=3\)

=>\(cos^2x=\dfrac{1}{3}\)

\(H=\dfrac{sin^3x+5\cdot cos^3x}{3\cdot sinx-2\cdot cosx}\)

\(=\dfrac{\left(-2\cdot cosx\right)^3+5\cdot cos^3x}{3\cdot\left(-2\right)\cdot cosx-2\cdot cosx}\)

\(=\dfrac{-8\cdot cos^3x+5\cdot cos^3x}{-6\cdot cos-2\cdot cosx}=\dfrac{-3\cdot cos^3x}{-8\cdot cosx}=\dfrac{3}{8}\cdot cos^2x\)

=3/8*1/3

=1/8

a/

\(\Leftrightarrow\frac{3}{\sqrt{13}}sinx-\frac{2}{\sqrt{13}}cosx=\frac{2}{\sqrt{13}}\)

Đặt \(cosa=\frac{3}{\sqrt{13}}\) với \(0< a< \pi\)

\(\Rightarrow sinx.cosa-cosx.sina=sina\)

\(\Leftrightarrow sin\left(x-a\right)=sina\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-a=a+k2\pi\\x-a=\pi-a+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2a+k2\pi\\x=\pi+k2\pi\end{matrix}\right.\)

b/

\(\Leftrightarrow cosx.\frac{1}{\sqrt{17}}+sinx.\frac{4}{\sqrt{17}}=-\frac{1}{\sqrt{17}}\)

Đặt \(cosa=\frac{1}{\sqrt{17}}\) với \(0< a< \pi\)

\(\Rightarrow cosx.cosa+sinx.sina=-cosa\)

\(\Leftrightarrow cos\left(x-a\right)=cos\left(\pi-a\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-a=\pi-a+k2\pi\\x-a=a-\pi+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pi+k2\pi\\x=2a-\pi+k2\pi\end{matrix}\right.\)

c/

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{19}}cosx+\frac{4}{\sqrt{19}}sinx=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{19}}\)

Đặt \(cosa=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{19}}\) với \(0< a< \pi\)

\(\Rightarrow cosx.cosa+sinx.sina=cosa\)

\(\Leftrightarrow cos\left(x-a\right)=cosa\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-a=a+k2\pi\\x-a=-a+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2a+k2\pi\\x=k2\pi\end{matrix}\right.\)