Cho a,b,c dương và a+b+c=3. c/m\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge\frac{3}{2}\)
và \(\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\ge\frac{3}{2}\)
Những câu hỏi liên quan
Cho a, b, c, d dương. CM:
1) frac{a^2}{b^5}+frac{b^2}{c^5}+frac{c^2}{d^5}+frac{d^2}{a^5}gefrac{1}{a^3}+frac{1}{b^3}+frac{1}{c^3}+frac{1}{d^3}
2) frac{a}{b}+frac{b}{c}+frac{c}{a}gefrac{a+b+c}{sqrt[3]{abc}}
3) frac{a^2}{b^2}+frac{b^2}{c^2}+frac{c^2}{d^2}+frac{d^2}{a^2}gefrac{a+b+c+d}{sqrt[4]{abcd}}
4) frac{1}{a^2+2bc}+frac{1}{b^2+2ac}+frac{1}{c^2+2ab}ge9;a+b+cle1
Đọc tiếp
Cho a, b, c, d dương. CM:
1) \(\frac{a^2}{b^5}+\frac{b^2}{c^5}+\frac{c^2}{d^5}+\frac{d^2}{a^5}\ge\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}\)
2) \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\)
3) \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{d^2}+\frac{d^2}{a^2}\ge\frac{a+b+c+d}{\sqrt[4]{abcd}}\)
4) \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge9;a+b+c\le1\)
Làm tạm một câu rồi đi chơi, lát làm cho.
4)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :
\(VT\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1}=9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
2/ Cô: \(\frac{2a}{b}+\frac{b}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{a.a.b}{b.b.c}}=3\sqrt[3]{\frac{a^3}{abc}}=\frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}\)
Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế thu được:
\(3.VT\ge3.VP\Rightarrow VT\ge VP^{\left(Đpcm\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b= c
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a,b,c dương và a+b+c=3
CMR: \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(abc\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3=1\)
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2c^2}}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^3b^3c^3}}=\frac{3}{abc}\)
Ta chứng minh: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\frac{3}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}\le\frac{3}{abc}\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le3=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)(luôn đúng)
Vậy bđt được chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Dòng thứ 3 của Linh bị ngược dấu rồi.
Chứng minh các khác:
Có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=3\) (@)
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}\)(1)
Ta chứng minh: \(\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)(2)
<=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\)đúng theo (@)
=> (2) đúng
Từ (1) ; (2) => \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1.
Thank you các bạn, mk có cách khác hơi dài mới nghĩ ra nhờ mn xem hộ
Vì a,b,c>0 nên áp dụng bđt Cô-si ta có
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab};\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{bc};\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{ac}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=\frac{a+b+c}{abc}\left(1\right)\)
Ta lại có: \(a^2+b^2\ge2ab;b^2+c^2\ge2bc;a^2+c^2\ge2ac\)\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
Cộng hai vế của bđt trên với 2ab+2bc+2ca ta được:\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)\(\Rightarrow3\left(a+b+c\right)\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Rightarrow a+b+c\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{abc}\ge\frac{ab+bc+ca}{abc}\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{abc}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{a^2}=\frac{1}{b^2};\frac{1}{b^2}=\frac{1}{c^2};\frac{1}{c^2}=\frac{1}{a^2}\\a^2=b^2;b^2=c^2;c^2=a^2\\a+b+c=3\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=1>0}\)
Cho a,b,c 0.Chứng minh rằnga,frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}gefrac{2}{a+b}+frac{2}{b+c}+frac{2}{c+a}b,frac{4}{a}+frac{5}{b}+frac{3}{c}ge4left(frac{3}{a+b}+frac{2}{b+c}+frac{1}{c+a}right)
Đọc tiếp
Cho a,b,c > 0.Chứng minh rằng
a,\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\)\(\ge\)\(\frac{2}{a+b}\)+\(\frac{2}{b+c}\)+\(\frac{2}{c+a}\)
b,\(\frac{4}{a}\)+\(\frac{5}{b}\)+\(\frac{3}{c}\)\(\ge\)\(4\left(\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
Ta chứng minh BĐT sau với các số dương:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
Thật vậy, BĐT tương đương: \(\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) ; \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\) ; \(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
b.
Ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\Rightarrow\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}\ge\dfrac{12}{a+b}\) (1)
\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\Rightarrow\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\ge\dfrac{8}{b+c}\) (2)
\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\) (3)
Cộng vế với vế (1); (2) và (3):
\(\dfrac{4}{a}+\dfrac{5}{b}+\dfrac{3}{c}\ge4\left(\dfrac{3}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a,b,c 0.Chứng minh rằnga,frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}gefrac{2}{a+b}+frac{2}{b+c}+frac{2}{c+a}b,frac{4}{a}+frac{5}{b}+frac{3}{c}ge4left(frac{3}{a+b}+frac{2}{b+c}+frac{1}{c+a}right)
Đọc tiếp
Cho a,b,c > 0.Chứng minh rằng
a,\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\)\(\ge\)\(\frac{2}{a+b}\)+\(\frac{2}{b+c}\)+\(\frac{2}{c+a}\)
b,\(\frac{4}{a}\)+\(\frac{5}{b}\)+\(\frac{3}{c}\)\(\ge\)\(4\left(\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
a) Cho a,b,c là 3 số hữu tỉ thỏa mãn abc=1
và \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}=\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\)
b) cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=3
cmr \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\)
Cho a,b,c là 3 số dương t/m: a+b+c=3
CMR:\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\)
#)Giải :
Áp dụng BĐT Cauchy : \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\\\frac{b}{1+c^2}=b-\frac{bc^2}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\\\frac{c}{1+a^2}=c-\frac{ca^2}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\ge3-\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Theo BĐT AM-GM:
\(\frac{a}{1+b^2}\)=a-\(\frac{ab^2}{1+b^2}\)\(\ge\)a-\(\frac{ab^2}{2b}\)=a-\(\frac{ab}{2}\)
Tương tự: \(\frac{b}{1+c^2}\)\(\ge\)b-\(\frac{bc}{2}\);\(\frac{c}{1+a^2}\)\(\ge\)c-\(\frac{ca}{2}\)
Suy ra \(\frac{a}{1+b^2}\)+\(\frac{b}{1+c^2}\)+\(\frac{c}{1+a^2}\)\(\ge\)a+b+c-\(\frac{1}{2}\)(ab+bc+ca)
Mặt khác thì theo BĐT AM-GM:9=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
=\(\frac{a^2+b^2}{2}\)+\(\frac{b^2+c^2}{2}\)+\(\frac{c^2+a^2}{2}\)+2(ab+bc+ca)\(\ge\)3(ab+bc+ca)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{2}\)(ab+bc+ca)\(\le\)\(\frac{3}{2}\)
Cho nên \(\frac{a}{1+b^2}\)+\(\frac{b}{1+c^2}\)+\(\frac{c}{1+a^2}\)\(\ge\)a+b+c-\(\frac{3}{2}\)=3-\(\frac{3}{2}\)=\(\frac{3}{2}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. CMR
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự ta có \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\); \(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ac}{2}\)
\(\Rightarrow VT\ge a+b+c-\frac{1}{2}\left(ab+ac+bc\right)\ge3-\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c\(\le\)\(\frac{3}{2}\).Chứng minh
a,\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\)\(\ge\)6
b,a+ b+ c+ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)\(\ge\)\(\frac{15}{2}\)
a)Áp dụng BĐT cosi-schwart:
`A=1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c)`
Mà `a+b+c<=3/2`
`=>A>=9:3/2=6`
Dấu "=" `<=>a=b=c=1/2`
b)Áp dụng BĐT cosi:
`a+1/(4a)>=1`
`b+1/(4b)>=1`
`c+1/(4c)>=1`
`=>a+b+c+1/(4a)+1/(4b)+1/(4c)>=3`
Ta có:
`1/a+1/b+1/c>=6`(Ở câu a)
`=>3/4(1/a+1/b+1/c)>=9/2`
`=>a+b+c+1/(a)+1/(b)+1/(c)>=3+9/2=15/2`
Dấu "=" `<=>a=b=c=1/2`
Đúng 2
Bình luận (0)
a)Áp dụng BĐT cosi-schwart:
A=1a+1b+1c≥9a+b+cA=1a+1b+1c≥9a+b+c
Mà a+b+c≤32a+b+c≤32
⇒A≥9:32=6⇒A≥9:32=6
Dấu "=" ⇔a=b=c=12⇔a=b=c=12
b)Áp dụng BĐT cosi:
a+14a≥1a+14a≥1
b+14b≥1b+14b≥1
c+14c≥1c+14c≥1
⇒a+b+c+14a+14b+14c≥3⇒a+b+c+14a+14b+14c≥3
Ta có:
1a+1b+1c≥61a+1b+1c≥6(Ở câu a)
⇒34(1a+1b+1c)≥92⇒34(1a+1b+1c)≥92
⇒a+b+c+1a+1b+1c≥3+92=152⇒a+b+c+1a+1b+1c≥3+92=152
Dấu "=" ⇔a=b=c=12
Đúng 0
Bình luận (0)
cho a, b, c>0. CMR a\(\frac{a^3}{b}\ge a^2+ab-b^2\)
CM \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\)
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác CM \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Tự nhiên lục được cái này :'(
3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{b+c-a+c+a-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
Cộng theo vế ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c