\(\frac{1}{x^3y^3}+\frac{1}{x^3y^3}+1\ge\frac{3}{x^2y^2}\) ; \(\frac{y^3}{z^3}+\frac{y^3}{z^3}+1\ge\frac{3y^2}{z^2}\) ; \(x^3z^3+x^3z^3+1\ge3x^2z^2\)

\(\Rightarrow2VT+3\ge2\left(\frac{1}{x^2y^2}+\frac{y^2}{z^2}+x^2z^2\right)+\left(\frac{1}{x^2y^2}+\frac{y^2}{z^2}+x^2z^2\right)\ge2\left(\frac{1}{x^2y^2}+\frac{y^2}{z^2}+x^2z^2\right)+3\sqrt[3]{\frac{x^2y^2z^2}{x^2y^2z^2}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

+\(x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=3\)

+\(3+2\left(xy+yz+zx\right)=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=\left(x+y+z\right)^2\le9\)

\(\Rightarrow B=\frac{1}{1+\sqrt{3+2\left(xy+yz+zx\right)}}\ge\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}\)

+\(A=\frac{x^2}{y+2z}+\frac{y^2}{z+2x}+\frac{z^2}{x+2y}=\frac{x^4}{x^2y+2zx^2}+\frac{y^4}{y^2z+2xy^2}+\frac{z^4}{z^2x+2yz^2}\)

\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2y+y^2z+z^2x+2\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)}\)

Áp dụng bđt Bunhiacopxki

\(x^2y+y^2z+z^2x=x.xy+y.yz+z.zx\le\sqrt{x^2+y^2+z^2}.\sqrt{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}\)

\(\le\sqrt{x^2+y^2+z^2}.\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}}=3\)

(áp dụng \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\))

Tương tự: \(xy^2+yz^2+zx^2\le3\)

\(\Rightarrow B\ge\frac{3^2}{3+2.3}=1\)

\(VT=A+B\ge1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}=VP\)

dvdfhfeye5

\(\sqrt{x^2+y^2+y^2}\ge\sqrt{3\sqrt[3]{x^2y^4}}=\sqrt{3}.\sqrt[3]{xy^2}\)

\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt[3]{xy^2}}{z}+\frac{\sqrt[3]{yz^2}}{x}+\frac{\sqrt[3]{zx^2}}{y}\right)\)

\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt{3}\sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{xy^2.yz^2.zx^2}}{xyz}}=3\sqrt{3}.\sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{x^3y^3z^3}}{xyz}}=3\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)

@Nguyễn Việt Lâm

\(\frac{x^3}{2x+3y+5z}+\frac{y^3}{2y+3z+5x}+\frac{z^3}{2z+3x+5y}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3zy+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\)

Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số

\(\Rightarrow\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2x^2+2y^2+2z^2+8xy+8yz+8xz}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\)

Xét \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 bộ số thực không âm

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\\y^2+z^2\ge2\sqrt{y^2z^2}=2yz\\x^2+z^2\ge2\sqrt{x^2z^2}=2xz\end{matrix}\right.\)

Cộng từng vế:

\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Rightarrow xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)

\(\Rightarrow8\left(xy+yz+xz\right)\le8\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)\le10\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Rightarrow\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{10\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{x^2+y^2+z^2}{10}\)

Ta có: \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{10}\ge\frac{1}{30}\)

\(\Rightarrow\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\ge\frac{1}{30}\)

Vì \(\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\ge\frac{1}{30}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{2x+3y+5z}+\frac{y^3}{2y+3z+5x}+\frac{z^3}{2z+3x+5y}\ge\frac{1}{30}\) ( đpcm )

chịu chết

\(\frac{x^2}{2y}+\frac{y^2}{2x}+\frac{y^2}{2z}+\frac{z^2}{2y}+\frac{z^2}{2x}+\frac{x^2}{2z}\ge\frac{\left(2x+2y+2z\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}=x+y+z\)

đặt A=\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}\) +\(\frac{1}{y\left(y+1\right)}\) +\(\frac{1}{z\left(z+1\right)}\)=\(\frac{1}{x}\)-\(\frac{1}{x+1}\)+\(\frac{1}{y}\)-\(\frac{1}{y+1}\)+\(\frac{1}{z}\)-\(\frac{1}{z+1}\)

Áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)≥\(\frac{4}{a+b}\) (bạn tự chứng minh nha,quy đồng ,nhân chéo ,chuyển về )⇒\(\frac{1}{a+b}\) ≤\(\frac{1}{4}\)(\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\))

⇒A≥\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)-\(\frac{1}{4}\)(\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)+3)

⇒A≥\(\frac{3}{4}\) (\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\))-\(\frac{3}{4}\)≥\(\frac{3}{4}\) (\(\frac{9}{x+y+z}\))-\(\frac{3}{4}\)

⇒a≥\(\frac{9}{4}\)-\(\frac{3}{4}\)=\(\frac{3}{2}\) dpcm

dấu bằng xảy ra⇔x=y=z=1

ngu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườichó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​