a, Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi \(2\left(2m^2-3m-5\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-5\right)\left(m+1\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow-1< m< \dfrac{5}{2}\)

b, TH1: \(m^2-3m+2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=2\end{matrix}\right.\)

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

TH2: \(m^2-3m+2\ne0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m\ne2\end{matrix}\right.\)

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi \(-5\left(m^2-3m+2\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow m^2-3m+2>0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>2\\m< 1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m>2\) hoặc \(m< 1\)

c, Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu \(x_1,x_2\) khi \(m^2-2m< 0\Leftrightarrow0< m< 2\)

Theo định lí Viet: \(x_1+x_2=2\left(m-1\right)\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(x_1+x_2< 0\Leftrightarrow2\left(m-1\right)< 0\Leftrightarrow m< 1\)

Vậy \(0< m< 1\)

1.

\(cos2x-3cosx+2=0\)

\(\Leftrightarrow2cos^2x-3cosx+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=1\\cosx=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k2\pi\\x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(x=k2\pi\in\left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right]\Rightarrow\) không có nghiệm x thuộc đoạn

\(x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\in\left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right]\Rightarrow x_1=\dfrac{\pi}{3};x_2=\dfrac{5\pi}{3}\)

\(\Rightarrow P=x_1.x_2=\dfrac{5\pi^2}{9}\)

2.

\(pt\Leftrightarrow\left(cos3x-m+2\right)\left(2cos3x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos3x=\dfrac{1}{2}\left(1\right)\\cos3x=m-2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{k2\pi}{3}\)

Ta có: \(x=\pm\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{k2\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\Rightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{9}\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\left(2\right)\) có nghiệm duy nhất thuộc \(\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-2=0\\m-2=1\\m-2=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=3\\m=1\end{matrix}\right.\)

TH1: \(m=2\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow cos3x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k2\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{6}\left(tm\right)\)

\(\Rightarrow m=2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

TH2: \(m=3\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow cos3x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{k2\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\Rightarrow x=0\left(tm\right)\)

\(\Rightarrow m=3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

TH3: \(m=1\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow cos3x=-1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{k2\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pm\dfrac{1}{3}\\x=-1\\x=-\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m=2\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy \(m=2;m=3\)

3.

\(2sin^2\dfrac{x}{4}-3cos\dfrac{x}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow2cos^2\dfrac{x}{4}+3cos\dfrac{x}{4}-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos\dfrac{x}{4}=\dfrac{1}{2}\\cos\dfrac{x}{4}=-2\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{4\pi}{3}+k8\pi\in\left[0;8\pi\right]\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{4\pi}{3}\\x=\dfrac{20\pi}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow T=\dfrac{4\pi}{3}+\dfrac{20\pi}{3}=8\pi\)

Với \(m=2\Rightarrow6x^2+3=0\) (vô nghiệm)

Với \(m\ne2\) đặt \(x^2=t\ge0\Rightarrow\left(m-2\right)t^2-2\left(m+1\right)t-3=0\) (1)

Ứng với mỗi \(t>0\Rightarrow\) luôn có 2 giá trị x phân biệt tương ứng thỏa mãn

\(\Rightarrow\) Pt đã cho có đúng 2 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm trái dấu

\(\Leftrightarrow ac< 0\Leftrightarrow-3\left(m-2\right)< 0\Leftrightarrow m>2\)

\(\left(m+1\right)x^3+\left(3m-1\right)x^2-x-4m+1=0\)

<=> (m.x³ - m) + (x³ - x) + (3mx² - 3m) - (x² - 1) = 0 

<=> m(x - 1)(x² + x + 1) + x(x - 1).(x+1) + 3m(x - 1)(x+1) - (x -1)(x+ 1) = 0 

<=> (x - 1).[m(x² + x+ 1) + x(x+1) + 3m(x+ 1) -  (x+1)] = 0 

<=> (x - 1).(mx² + mx + m + x² + x + 3mx + 3m - x -  1) = 0 

<=> (x - 1).[(m + 1)x² + 4mx + 4m - 1)] = 0  (*)

b)  (*) <=> x = 1 hoặc (m + 1)x² + 4mx + 4m - 1) = 0  (1)

Để (*) có 3 nghiệm phân biệt trong đó có 2 ngiệm âm <=> (1) có 2 nghiệm âm phân biệt 

<=> m+ 1 \(\ne\) 0 và  \(\Delta\)' > 0 và x₁.x₂ > 0 và x₁ + x₂ < 0 trong đó x₁; x₂ là hai nghiệm của (1)

+) m + 1 \(\ne\) 0 <=> m \(\ne\) - 1

+)  \(\Delta\)' = (2m)² - (m + 1).(4m- 1) = 4m²  - 4m² - 3m +  1 = -3m + 1 > 0 => m < 1/3

+) Theo hệ thức Vi ét ta có: x₁ + x₂ = \(-\frac{4m}{m+1}\); x₁.x₂ = \(\frac{4m-1}{m+1}\)

=> \(-\frac{4m}{m+1}\) < 0 và \(\frac{4m-1}{m+1}\) > 0 

=> \(\frac{4m}{m+1}>0\) và \(\frac{4m+1}{m+1}\) > 0 => \(\frac{4m}{m+1}\) > 0 => 4m  và m + 1 cùng dấu

=> m > 0  hoặc m < -1

Kết hợp điều kiện m < 1/3 và m \(\ne\) -1 => m < - 1 hoặc 0  < m < 1/3

Vậy...

đơn giản .tìm NCPT hoac TLCT gi do la co

a)\(\left(m+1\right)x^3-\left(m+1\right)x^2+4mx^2-4mx+\left(4m-1\right)x-\left(4m-1\right)=0\)

\(\left(x-1\right)\left[\left(m+1\right)x^2+4mx+4m-1\right]=0\)

b) => x =1 là 1 nghiệm của pt

 Đẻ PT có 3 nghiệm phân biệt trong đoa có 2 nghiệm âm 

=>\(\left(m+1\right)x^2+4mx+4m-1=0\)có 2 nghiệm phân biệt âm

+ m \(\ne\)-1

+ \(\Delta'=4m^2-\left(m+1\right)\left(4m-1\right)>0\)=>m<1/3

+ S =\(-\frac{4m}{m+1}<0\Rightarrow m<-1hoac;m>0\)

+P=\(\frac{4m-1}{m+1}>0\Leftrightarrow m<-1;hoac;m>\frac{1}{4}\)

=> m< -1 hoặc 1/4<m<1/3 thì PT có 3 nghiệm phân biệt trong đó 1 nghiệm  x=1; hai nghiệm kia âm

Đặt \(x^2=t\ge0\Rightarrow f\left(t\right)=t^2-\left(2m+1\right)t+m+3=0\) (1)

Pt đã cho có 4 nghiệm pb khi (1) có 2 nghiệm pb đều dương

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(2m+1\right)^2-4\left(m+3\right)>0\\t_1+t_2=2m+1>0\\t_1t_2=m+3>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>\dfrac{\sqrt{11}}{2}\)

Không mất tính tổng quát, giả sử 2 nghiệm dương của (1) là \(t_1< t_2\)

Khi đó 4 nghiệm của pt đã cho là: \(-\sqrt{t_2}< -\sqrt{t_1}< \sqrt{t_1}< \sqrt{t_2}\)

Do đó điều kiện đề bài tương đương:

\(\left\{{}\begin{matrix}-\sqrt{t_2}< -2\\-\sqrt{t_1}>-1\\\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t_2>4\\t_1< 1\end{matrix}\right.\)

Bài toàn trở thành: tìm m để (1) có 2 nghiệm dương pb thỏa mãn: \(t_1< 1< 4< t_2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1.f\left(1\right)< 0\\1.f\left(4\right)< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-\left(2m+1\right)+m+3< 0\\16-4\left(2m+1\right)+m+3< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>3\\m>\dfrac{15}{7}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>3\)

Kết hợp \(m>\dfrac{\sqrt{11}}{2}\Rightarrow m>3\)

Lời giải:

Để pt có 2 nghiệm pb thì:

$\Delta'=(2m-1)^2-4(m^2-3m-4)=8m+17>0\Leftrightarrow m> \frac{-17}{8}$

Áp dụng định lý Viet: 

$x_1+x_2=1-2m$

$x_1x_2=m^2-3m-4$

Khi đó:

$|x_1-x_2|-2=0$

$\Leftrightarrow |x_1-x_2|=2$

$\Leftrightarrow (x_1-x_2)^2=4$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4$
$\Leftrightarrow (1-2m)^2-4(m^2-3m-4)=4$

$\Leftrightarrow 8m+17=4$

$\Leftrightarrow m=\frac{-13}{8}$ (tm)

Lời giải:

Để pt có 2 nghiệm pb thì:

$\Delta'=(2m-1)^2-4(m^2-3m-4)=8m+17>0\Leftrightarrow m> \frac{-17}{8}$

Áp dụng định lý Viet: 

$x_1+x_2=1-2m$

$x_1x_2=m^2-3m-4$

Khi đó:

$|x_1-x_2|-2=0$

$\Leftrightarrow |x_1-x_2|=2$

$\Leftrightarrow (x_1-x_2)^2=4$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4$
$\Leftrightarrow (1-2m)^2-4(m^2-3m-4)=4$

$\Leftrightarrow 8m+17=4$

$\Leftrightarrow m=\frac{-13}{8}$ (tm)

Để pt 1 có 2 nghiệm phân biệt =>\(\Delta\)>0 

<=> (2m-1(² - 4(m²-3m-4( >0

<=> 4m² - 4m + 1 - 4m²+12m+16 > 0

<=>8m +17>0

<=> m>-17/8

=> theo hệ thức Vi ét ta có 

x₁+x₂=-2m+1              *

x₁.x₂=m²-3m-4           *

Theo bài ra  ta có pt

|x1−x2|−2=0

<=> |x1−x2|=2

<=> (x1-x2(²=2²

<=> x_{1^{2 -}} 2x₁.x₂ + x_2²  = 4

<=> (x₁ + x₂ > ²- 4 x₁x₂ = 4  <**>

Thay *,*  vào <**>  ta được :

(-<2m-1>>² - 4<m²-3m-4> = 4 

<=> 4m²-4m+1 - 4m²+12m+16=4

<=> 8m + 17= 4

<=> 8m = 13 

<=> m= 13/8 < t/m >

Vậy m = 13/8 là giá trị cần tìm