Lời giải:

Phản chứng. Giả sử PT đã cho không có nghiệm nào với mọi số thực $a,b,c$.

Điều này tương đương với các PT con

\((1):ax^2+2bx+c=0; (2):bx^2+2cx+a=0;(3): cx^2+2ax+b=0\)không có nghiệm với mọi $a,b,c\in\mathbb{R}$
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta'_1=b^2-ac< 0\\ \Delta'_2=c^2-ab< 0\\ \Delta'_3=a^2-bc< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow b^2-ac+c^2-ab+a^2-bc< 0\)

\(\Leftrightarrow 2b^2-2ac+2c^2-2ab+2a^2-2bc< 0\)

\(\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2< 0\) (vô lý với mọi $a,b,c$ thực)

Vậy điều giả sử là sai. Nghĩa là pt đã cho luôn có nghiệm với mọi $a,b,c\in\mathbb{R}$

Với \(c=0\Rightarrow f\left(x\right)=0\) có nghiệm \(x=0\) (loại)

TH1: \(a;c\) trái dấu 

Xét pt \(f\left(x\right)=0\Leftrightarrow a\left(ax^2+bx+c\right)^2+b\left(ax^2+bx+c\right)+c=0\)

Đặt \(ax^2+bx+c=t\) \(\Rightarrow at^2+bt+c=0\) (1)

Do a; c trái dấu \(\Leftrightarrow\) (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu.

Không mất tính tổng quát, giả sử \(t_1< 0< t_2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}ax^2+bx+c=t_1\\ax^2+bx+c=t_2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}ax^2+bx+c-t_1=0\left(2\right)\\ax^2+bx+c-t_2=0\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Mà a; c trái dấu nên:

- Nếu \(a>0\Rightarrow c< 0\Rightarrow c-t_2< 0\Rightarrow a\left(c-t_2\right)< 0\)

\(\Rightarrow\) (3) có nghiệm hay \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm (loại)

- Nếu \(a< 0\Rightarrow c>0\Rightarrow c-t_1>0\Rightarrow a\left(c-t_1\right)< 0\)

\(\Rightarrow\left(2\right)\) có nghiệm hay \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm (loại)

Vậy đa thức \(f\left(x\right)\) luôn có nghiệm khi a; c trái dấu

\(\Rightarrow\)Để \(f\left(x\right)=0\) vô nghiệm thì điều kiện cần là \(a;c\) cùng dấu \(\Leftrightarrow ac>0\)

Khi đó xét \(g\left(x\right)=0\) có \(a.\left(-c\right)< 0\Rightarrow g\left(x\right)=0\) luôn có 2 nghiệm trái dấu (đpcm)

1/

a) Δ' = b'² - ac = (3 - m)² - (m - 1)(m - 4) = 9 - 6m + m² - m² + 4m + m - 4

= 5 - m

Để pt (1) có nghiệm duy nhất thì Δ' = 0 ⇔ 5 - m = 0 ⇔ m = 5

b) Để pt (1) có hai nghiệm x₁; x₂ thì Δ ≥ 0 ⇔ 5 - m ≥ 0 ⇔ m ≤ 5

Áp dụng Vi-et ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-2\left(3-m\right)}{m-1}\\x_1\cdot x_2=\frac{m-4}{m-1}\end{matrix}\right.\)

Ta có 3(x₁ + x₂) = 5x₁x₂ = \(3\cdot\frac{-2\left(3-m\right)}{m-1}=5\cdot\frac{m-4}{m-1}\)

⇔ \(\frac{-6\left(3-m\right)}{m-1}=\frac{5\left(m-4\right)}{m-1}\)

⇔ \(-6\left(3-m\right)=5\left(m-4\right)\)

⇔ \(-18+6m=5m-20\)

⇔ \(m=-2\) (tm)

Vậy với m = -2 thì pt (1) có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn 3(x₁ + x₂) = 5x₁x₂