a,Xét tam giác MHP và KHN có:

MH=HK

Góc MHP=góc NHK(2 góc đổi đỉnh)

NH=HP(MH là trung tuyến)

=>Tam giác MHP=tam giác KHN) (c.g.c)

=>Góc M2=góc K=>PM//NK

b,N là trung điểm của PQ

=>Q,N,H,P thẳng hàng

=>MH là trung tuyến của tam giác MNP

=NH=NP/2

N là trung điểm của PQ=>NP=QN

=>NH=QN/2

Xét tam giác MQK có trung tuyến QH (HM=HK)

mà NH=QN/2=>N là trọng tâm

mà KI là trung tuyến của tam giác MQK

=>I,N,K thẳng hàng

GOOD LUCK FOR YOU!

a,Ta có:

Góc MHP = 90 độ (gt)

=>góc MHP=góc MKH=90độ (đối đỉnh)

=> NK // MP ( góc vuông đố đỉnh)

b, xét tam giác MNQ,ta có: ( thêm góc A thẳng hàng K,A,Q)

NI,MA,QH là 3 đường cao

mà MH giao với QA tại K(gt)

=> K là trực tâm của tam giác MNP

=>KI vuông góc với MQ( t/c 2 dg cao cua tg) (1)

Lại có: NI vuông góc MQ (gt) (2)

Từ (1),(2)=> 3 điểm I,N,K thẳng hàng

(Tự vẽ hình nha)

a, Vì MH là trung tuyến

\(\Rightarrow NH=HP=\frac{1}{2}NP\)

Xét\(\Delta MHP\)và\(\Delta KHN\)có:

HP = NH (cmt)

\(\widehat{MHP}=\widehat{KHN}\)(2 góc đối đỉnh)

HM = HK (GT)

Do đó:\(\Delta MHP=\Delta KHN\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{HMP}=\widehat{HKN}\)(2 góc tương ứng)

\(\Rightarrow PM//KN\)(2 góc bằng nhau ở vị trí so le trong)

Vậy\(PM//KN\)

b, Vì H là trung điểm của MK

\(\Rightarrow\)QH là trung tuyến của \(\Delta MQK\)(1)

Vì\(NH=\frac{1}{2}NP\)

\(NP=NQ\)

\(\Rightarrow NH=\frac{1}{2}NQ\)(2)

Từ (1) và (2) => N là trọng tâm của\(\Delta MQK\)

Mà I là trung điểm của MQ

=> KI là đường trung tuyến

=. I,N,K thẳng hàng

Vậy I,N,K thẳng hàng.

P/s: Bài còn sai sót mong bạn thông cảm.

Linz

Bài 1:

a) Xét ΔABE vuông tại B và ΔAFE vuông tại F có

AE chung

\(\widehat{BAE}=\widehat{FAE}\)(AE là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\), F∈AC)

Do đó: ΔABE=ΔAFE(cạnh huyền-góc nhọn)

⇒AB=AF(hai cạnh tương ứng)

Ta có: ΔABE=ΔAFE(cmt)

⇒\(\widehat{BEA}=\widehat{FEA}\)(hai góc tương ứng)

mà tia EA nằm giữa hai tia EB và EF

nên EA là tia phân giác của \(\widehat{BEF}\)(đpcm)

b) Ta có: ΔABE=ΔAFE(cmt)

⇒EB=EF(hai cạnh tương ứng)(1)

Ta có: ΔFEC vuông tại F(EF⊥AC)

nên EC là cạnh huyền trong ΔFEC vuông tại F(EC là cạnh đối diện với \(\widehat{EFC}=90^0\))

⇒EC là cạnh lớn nhất trong ΔFEC(trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất)

⇒EF<EC(2)

Từ (1) và (2) suy ra EB<EC(đpcm)

Bài 2:

a) Xét ΔMPH và ΔKNH có

MH=KH(gt)

\(\widehat{MHP}=\widehat{KHN}\)(hai góc đối đỉnh)

PH=NH(MH là đường trung tuyến ứng với cạnh NP trong ΔMNP)

Do đó: ΔMPH=ΔKNH(c-g-c)

⇒\(\widehat{MPH}=\widehat{KNH}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{MPH}\) và \(\widehat{KNH}\) là hai góc ở vị trí so le trong

nên MP//KN(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

b) Xét ΔMQP có

I là trung điểm của QM(gt)

N là trung điểm của QP(gt)

Do đó: IN là đường trung bình của ΔMQP(định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒IN//MP(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

mà KN//MP(cmt)

và IN và KN có điểm chung là N

nên I,N,K thẳng hàng(tiên đề Ơ Cơ Lít)(đpcm)

uk chịu

Hình tự vẽ nhé !

                                 Giải

a) Xét tam giác MHB và tam giác MKC có

   MB = MC ( vì M là trung điểm của BC )

   HMB = KMC ( vì đối đỉnh )

   MH = MK ( vì m là trung điểm của HK ) 

Do đó Tam giác MHB = tam giác MKC 

a) Xét △MIQ và △NIP ta có:

            IM=IN (gt)

       ∠MIQ=∠NIP(2 góc đối đỉnh)

          MQ=MP (gt)

Vậy : △MIQ = △NIP (c.g.c)

Vậy: QM = NP (2 cạnh tương ứng)

⇒ ∠MQI = ∠IPN (2 góc tương ứng) mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong

Vậy : QM // NP

b) Xét △MEK và △PEN ta có:

            EM = EP (gt)

       ∠MEK =∠PEN (2 góc đối đỉnh)

            EK = EN (gt)

⇒ △MEK = △PEN (c.g.c)

⇒ ∠EMK = ∠EPN (2 góc tương ứng) mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong

Vậy: MK//PN

c) Từ câu a và câu b, ta có : QM//NP và MK//PN

Vậy M,Q,K thẳng hàng.(1)

Ta có:△MEK=△PEN (theo câu b)

⇒ MK=NP (2 cạnh tương ứng)

⇒ QM=NP (theo câu a) và MK=NP(chứng minh trên)⇒QM=MK (2)

Từ (1) và (2), suy ra: M là trung điểm của đoạn thẳng QK.

a: Xét tứ giác ABCQ có 

N là trung điểm của AC

N là trung điểm của BQ

Do đó: ABCQ là hình bình hành

Suy ra: AQ//BC và AQ=BC

Xét tứ giác ACBP có

M là trung điểm của AB

M là trung điểm của CP

Do đó: ACBP là hình bình hành

Suy ra: AP//BC và AP=BC

Ta có: AQ//BC

AP//BC

mà AQ,AP có điểm chung là A

nên Q,A,P thẳng hàng

mà AP=AQ

nên A là trung điểm của PQ

b: Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//BC và MN=BC/2

hay MN=PQ/4

=>PQ=4MN

a,xét 2 tam giác vuông MNH và NPH có:

mn=mp(gt)

mk là canh chung 

\(\Rightarrow\)tam giác MNH=tam giác NPH ( cạnh huyền-cạnh góc vuông)

b,Vì tam giác MNP là tam giác cân nên:

\(\Rightarrow\) đường trung tuyến của nó cũng là đường trung trực 

mà tia MK là đường trung tuyến của tam giác MNP

\(\Rightarrow\)MH là đường trung trực của PN

còn phần c thì bạn nên xem lại đề nhé