Câu 1: Cho a > 0 và b > 0. Chứng minh rằng:

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge4\)

Câu 2: Cho \(\Delta\)ABC có ba góc nhọn, biết AB = 15cm, AC = 13cm và đường cao AH = 12cm. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H xuống AC và AB.

a) Chứng minh rằng \(\Delta\)AHN \(\sim\)\(\Delta\)ACH

b) Tính độ dài BC

c) Chứng minh rằng: \(\Delta\)AMN \(\sim\Delta\)ACB

d) Tính MN

Câu 1: Cho a > 0 và b > 0. Chứng minh rằng:

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge4\)

Câu 2: Cho \(\Delta\)ABC có ba góc nhọn, biết AB = 15cm, AC = 13cm và đường cao AH = 12cm. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H xuống AC và AB.

a) Chứng minh rằng \(\Delta\) AHN \(\sim\) \(\Delta\)ACH

b) Tính độ dài BC

c) Chứng minh rằng: \(\Delta\)AMN \(\sim\) \(\Delta\)ACB

d) Tính MN

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, biết   A B   =   15 c m ,   A C   =   13 c m và đường cao A H   =   12 c m . Gọi N, M lần lượt là hình chiếu vuông góc của H xuống AC và AB.

a) Chứng minh rằng ΔAHN ∼ ΔACH

b) Tính độ dài BC

c) Chứng minh ΔAMN ∼ ΔACB

d) Tính MN

Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn. Đường cao AD; H là trực tâm. Chứng minh rằng: \(4DA.DH\le BC^2\)

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H.

   a. CMR: \(\frac{AH}{BC}+\frac{BH}{AC}+\frac{CH}{AB}\ge\sqrt{3}\)

   b. Đường tròn (H;HA) cắt AB,AC lần lượt tại P và Q. CMR: OA vuông góc PQ.

   c. Gọi M,N là hình chiếu của BC trên đường thẳng EF. CMR: DE+DF=MN.

Bài 3: Cho x,y,z>0 và x+y+z=1. Tìm Min: 

                \(A=\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\left( {AB < AC} \right)\). Kẻ đường cao \(AH\left( {H \in BC} \right)\).

a) Chứng minh rằng \(\Delta ABH\backsim\Delta CBA\), suy ra \(A{B^2} = BH.BC\).

b) Vẽ \(HE\) vuông góc với \(AB\) tại \(E\), vẽ \(HF\) vuông góc với \(AC\) tại \(F\). Chứng minh rằng \(AE.AB = AF.AC\).

c) Chứng minh rằng \(\Delta AFE\backsim\Delta ABC\).

d) Qua \(A\) vẽ đường thẳng song song với \(BC\) cắt đường thẳng \(HF\) tại \(I\). Vẽ \(IN\) vuông góc với \(BC\) tại \(N\). Chứng minh rằng \(\Delta HNF\backsim\Delta HIC\).

Câu 1: Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA=OB. Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia By lấy điểm D sao cho AC=BD

a) Chứng minh: AD=BC

b) Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh: \(\Delta EAC\) = \(\Delta EBD\)

c) Chứng minh: OE là tia phân giác của góc xOy

Câu 2: A=\(\frac{1}{3}\)+\(\left(\frac{1}{3}\right)^2\)+\(\left(\frac{1}{3}\right)^3\)+...+\(\left(\frac{1}{3}\right)^{2016}\)

Chứng minh rằng: A<\(\frac{1}{2}\)

 So sánh A và B:

A=\(\left(\frac{1}{2}\right)^2\)+\(\left(\frac{1}{3}\right)^2\)+\(\left(\frac{1}{4}\right)^2\)+....................+\(\left(\frac{1}{100}\right)^2\)

B=\(\frac{3}{4}\)

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A có góc A=40⁰ . Đường cao AH. Các điểm E,F theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng AH, AC sao cho góc EBA=FBC= 30⁰ . Dựng tam giác đều ABK(K thuộc nửa mặt phẳng chúa C bờ AB.Chứng minh rằng:

a) FK là đường trung trực của AB

b) AE=AF

Câu 1. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC). Tia phân giác góc A cắt BC tại D. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM=AB

a) Chứng minh: DB=DM

b) Gọi E là giao điểm AB và MD. Chứng minh \(\Delta BED=\Delta MCD\)

c) Gọi H là trung điểm của EC. Chứng minh ba điểm A,D,H thẳng hàng

Câu 2 . Cho \(\Delta ABC\)có AB<AC. Tia phân giác góc ABC cắt AC tại D. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BA=BE

a) Chứng minh: DA=DE

b) Tia ED cắt BA tại F. Chứng minh \(\Delta DAF=\Delta DEC\)

c) Gọi H là trung diểm của FC. Chứng minh ba điểm B,D,H thẳng hàng

Câu 3. Cho \(\Delta ABC\)cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC (\(H\in BC\))

a) Chứng minh: HB=HC

b) Kẻ \(HD\perp AB\left(D\in AB\right)\)và \(HE\perp AC\left(E\in AC\right)\). Chứng minh \(\Delta HDE\)cân

Câu 4. Cho tam giác ABC vuông tại B, đường phân giác \(AD\left(D\in BC\right)\). Kẻ DE vuông góc với \(AC\left(E\in AC\right)\)

a) Chứng minh: \(\Delta ABD=\Delta AED;\)

b) BE là đường trung trực của đoạn thẳng AD

c) Gọi F là giao điểm của hai đường thẳng AB và ED  Chứng minh BF=EC