Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các định lí và tính chất của hình học Euclid. Hãy đi từng phần một để giải quyết từng yêu cầu.

**a) Chứng tỏ rằng AM.BN = AD.MB:**

Trong tam giác DMN, do AM song song với ND (do M thuộc AB), ta có tỉ số đồng dạng:

\[ \frac{AM}{AD} = \frac{MN}{ND} \]

Trong tam giác MBN, do AN song song với MD, ta có tỉ số đồng dạng:

\[ \frac{BN}{MB} = \frac{ND}{MN} \]

Nhân hai tỉ số trên với nhau:

\[ \frac{AM}{AD} \cdot \frac{BN}{MB} = \frac{MN}{ND} \cdot \frac{ND}{MN} \]

\[ \frac{AM \cdot BN}{AD \cdot MB} = 1 \]

\[ AM \cdot BN = AD \cdot MB \]

**b) Chứng minh tam giác DMK vuông cân:**

Vì \( Dx \) là đường cao trong tam giác \( DMN \) và \( Dx \) vuông góc với \( DN \), nên \( DK \) là đường cao của tam giác \( DMN \).

Do đó, tam giác \( DMK \) là tam giác vuông tại \( K \).

Đồng thời, vì \( DM = DM \) nên tam giác \( DMK \) cũng là tam giác cân.

**c) Chứng minh   \(\frac{1}{DK^2} +\frac{1}{DN^2}\) không đổi:**

Để chứng minh \(\frac{1}{DK^2} +\frac{1}{DN^2}\) không đổi, chúng ta có thể sử dụng định lí Ptolemy trong tứ giác DMNK:

Theo định lí Ptolemy:

\[ DN \cdot MK + DM \cdot NK = DK \cdot MN \]

Do tam giác \( DMK \) là tam giác vuông cân, ta có \( DM = MK \).

Thay \( MK \) bằng \( DM \):

\[ DN \cdot DM + DM \cdot NK = DK \cdot MN \]

\[ DM \cdot (DN + NK) = DK \cdot MN \]

\[ DM \cdot DN + DM \cdot NK = DK \cdot MN \]

\[ DK \cdot MN = DM \cdot (DN + NK) \]

\[ \frac{DK}{DM} = \frac{DN + NK}{MN} \]

\[ \frac{DK}{DM} = \frac{DN}{MN} + \frac{NK}{MN} \]

\[ \frac{DK}{DM} = \frac{1}{DN} + \frac{1}{NK} \]

\[ \frac{DK^2}{DM^2} = \frac{1}{DN^2} + \frac{1}{NK^2} \]

Vì \( NK = DM \), nên:

\[ \frac{DK^2}{DM^2} = \frac{1}{DN^2} + \frac{1}{DM^2} \]

\[ \frac{DK^2}{DM^2} - \frac{1}{DM^2} = \frac{1}{DN^2} \]

\[ \frac{DK^2 - DM^2}{DM^2} = \frac{1}{DN^2} \]

\[ \frac{DK^2}{DM^2} = \frac{1}{DN^2} + \frac{1}{DM^2} \]

Vậy ta đã chứng minh được \(\frac{1}{DK^2} +\frac{1}{DN^2}\) không đổi.

Tam giác AMB đồng dạng với tam giác BMN ( Tự chứng minh )

Suy ra \(\frac{AM}{BM}=\frac{AD}{BN}\Rightarrow AM.BN=AD.BM\)

b) Ta chứng minh tam giác ADM bằng tam giác CDK

Rồi suy ra tam giác DMK cân

Mà DM vuông góc với DK

Nên tam giác DMK vuông cân

a)Hình như đề sai. phải là:  \(\frac{KM}{KN}=\frac{DN}{DM}\Leftrightarrow\frac{KM}{KM+MN}=\frac{DN}{DN+NM}\Leftrightarrow\)đến đây để c/m đc thì phải c/m KM=DN

hình nè: 

b) dễ dàng c/m tam giác AGB đồng dạng tam giác AEC

=> \(\frac{AG}{AE}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow AE.AB=AG.AC\)

đề câu này cũng sai. phải là: AB.AE=AD.AF hay là một tỉ số nào đó

theo chị em phải c/m tỉ số thứ 2 đó = CG.AC

=> cộng vào sẽ được AC(AG+CG)=AC ^2

đến  đây chị chỉ giúp được vậy thôi. bài khó quá

a: góc ABC=90-30=60 độ

góc DBM=180-45-60=75 độ

góc DCN=45+30=75 độ

b: Xét ΔDNC vuông tại N và ΔDBM vuông tại M có

DC=DB

góc DCN=góc DBM

=>ΔDNC=ΔDBM

=>DM=DN

c: Xét tứ giác AMDN có

góc AMD=góc AND=góc MAN=90 độ

DM=DN

=>AMDN là hình vuông

=>AD là phân giác của góc BAC