Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các định lí và tính chất của hình học Euclid. Hãy đi từng phần một để giải quyết từng yêu cầu.
**a) Chứng tỏ rằng AM.BN = AD.MB:**
Trong tam giác DMN, do AM song song với ND (do M thuộc AB), ta có tỉ số đồng dạng:
\[ \frac{AM}{AD} = \frac{MN}{ND} \]
Trong tam giác MBN, do AN song song với MD, ta có tỉ số đồng dạng:
\[ \frac{BN}{MB} = \frac{ND}{MN} \]
Nhân hai tỉ số trên với nhau:
\[ \frac{AM}{AD} \cdot \frac{BN}{MB} = \frac{MN}{ND} \cdot \frac{ND}{MN} \]
\[ \frac{AM \cdot BN}{AD \cdot MB} = 1 \]
\[ AM \cdot BN = AD \cdot MB \]
**b) Chứng minh tam giác DMK vuông cân:**
Vì \( Dx \) là đường cao trong tam giác \( DMN \) và \( Dx \) vuông góc với \( DN \), nên \( DK \) là đường cao của tam giác \( DMN \).
Do đó, tam giác \( DMK \) là tam giác vuông tại \( K \).
Đồng thời, vì \( DM = DM \) nên tam giác \( DMK \) cũng là tam giác cân.
**c) Chứng minh \(\frac{1}{DK^2} +\frac{1}{DN^2}\) không đổi:**
Để chứng minh \(\frac{1}{DK^2} +\frac{1}{DN^2}\) không đổi, chúng ta có thể sử dụng định lí Ptolemy trong tứ giác DMNK:
Theo định lí Ptolemy:
\[ DN \cdot MK + DM \cdot NK = DK \cdot MN \]
Do tam giác \( DMK \) là tam giác vuông cân, ta có \( DM = MK \).
Thay \( MK \) bằng \( DM \):
\[ DN \cdot DM + DM \cdot NK = DK \cdot MN \]
\[ DM \cdot (DN + NK) = DK \cdot MN \]
\[ DM \cdot DN + DM \cdot NK = DK \cdot MN \]
\[ DK \cdot MN = DM \cdot (DN + NK) \]
\[ \frac{DK}{DM} = \frac{DN + NK}{MN} \]
\[ \frac{DK}{DM} = \frac{DN}{MN} + \frac{NK}{MN} \]
\[ \frac{DK}{DM} = \frac{1}{DN} + \frac{1}{NK} \]
\[ \frac{DK^2}{DM^2} = \frac{1}{DN^2} + \frac{1}{NK^2} \]
Vì \( NK = DM \), nên:
\[ \frac{DK^2}{DM^2} = \frac{1}{DN^2} + \frac{1}{DM^2} \]
\[ \frac{DK^2}{DM^2} - \frac{1}{DM^2} = \frac{1}{DN^2} \]
\[ \frac{DK^2 - DM^2}{DM^2} = \frac{1}{DN^2} \]
\[ \frac{DK^2}{DM^2} = \frac{1}{DN^2} + \frac{1}{DM^2} \]
Vậy ta đã chứng minh được \(\frac{1}{DK^2} +\frac{1}{DN^2}\) không đổi.
