* Bạn tự vẽ hình nhé *
Lời giải:
Từ $M$ kẻ \(MT\parallel DC\parallel AB(T\in BC)\)
Áp dụng định lý Thales với:
+) \(AN\parallel DC\Rightarrow \frac{DM}{MN}=\frac{MC}{AM}(*)\)
+) Tam giác $ABC$ có \(MT\parallel AB: \frac{MC}{AC}=\frac{MT}{AB}=\frac{MT}{DC}(1)\)
+) Tam giác $KDC$ có \(MT\parallel DC: \frac{MT}{DC}=\frac{MK}{DK}(2)\)
Từ \((1); (2)\Rightarrow \frac{MC}{AC}=\frac{MK}{DK}\Leftrightarrow \frac{MC}{MC+AM}=\frac{MK}{MK+DM}\)
\(\Rightarrow \frac{MC}{AM}=\frac{MK}{DM}(**)\)
Từ \((*); (**)\Rightarrow \frac{DM}{MN}=\frac{MK}{DM}\Rightarrow DM^2=MN.MK\)
Ta có đpcm.
b)
Áp dụng định lý Thales với:
+) \(BK\parallel AD: \frac{DN}{DK}=\frac{AN}{AB}(1)\)
+) \(AN\parallel DC: \frac{MN}{DM}=\frac{AN}{DC}=\frac{AN}{AB}(2)\)
Từ \((1); (2)\Rightarrow \frac{DN}{DK}=\frac{MN}{DM}\)
\(\Leftrightarrow \frac{DN}{DK}=\frac{DN-DM}{DM}\)
\(\Leftrightarrow \frac{DN}{DK}+1=\frac{DN}{DM}\)
Chia cả 2 vế cho $DN$ suy ra: \(\frac{1}{DK}+\frac{1}{DN}=\frac{1}{DM}\) (đpcm)
c)
Vì \(BN\parallel DC\) nên áp dụng định lý Thales có:
\(\frac{BK}{CK}=\frac{BN}{CD}=\frac{BN}{AB}\)
\(\Rightarrow \frac{BC}{CK}=\frac{BN}{AB}+1=\frac{AN}{AB}\)
Suy ra \(CK.AN=BC.AB\) không đổi.
Do đó \(CK.AN\) không đổi khi $D$ thay đổi.
