b số vô tỉ

1,Chứng minh:

a, √8 là số hữu tỉ

b, √8là số vô tỉ

lấy máy tính tính xong xét

AI CHỨNG MINH GIÙM MÌNH \(\sqrt{8}\)VỪA LÀ SỐ VÔ TỈ, VỪA LÀ SỐ HỮU TỈ. CM ĐƯỢC MÌNH CHO MỘT....TỈ :)

HIHI

Nào , cop đi , cop đi 

HT

:)))))))))))

@@@@@@@@@@@

 ) Giả sử √2 là số hữu tỉ nên suy ra : √2=ab ( a ; b ∈

 N* ) ; ( a ; b ) = 1

⟹

 b√2=a

⟹

 b2.2=a2

⟹

 a2 chia hết cho 2 ; mà 2

 là số nguyên tố 

⟹

 a chia hết cho 2

⟹

 a2 chia hết cho 4

⟹

  b2.2 chia hết cho 4

⟹

 b2 chia hết cho 2 ; mà 2 là số nguyên tố nên suy ra b chia hết cho 2

⟹

 (a;b)=2 mâu thuẫn với (a;b)=1

⟹

 Điều giả sử sai

⟹

 √2 là số vô tỉ) Giả sử √2 là số hữu tỉ nên suy ra : √2=ab ( a ; b ∈

 N* ) ; ( a ; b ) = 1

⟹

 b√2=a

⟹

 b2.2=a2

⟹

 a2 chia hết cho 2 ; mà 2

 là số nguyên tố 

⟹

 a chia hết cho 2

⟹

 a2 chia hết cho 4

⟹

  b2.2 chia hết cho 4

⟹

 b2 chia hết cho 2 ; mà 2 là số nguyên tố nên suy ra b chia hết cho 2

⟹

 (a;b)=2 mâu thuẫn với (a;b)=1

⟹

 Điều giả sử sai

⟹

 √2 là số vô tỉ

????????????

Giả sử \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) là số hữu tỉ

nên \(\sqrt{3}-\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}\left(q\ne0\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{p^2}{q^2}=5-2\sqrt{6}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{p^2}{q^2}-5=-2\sqrt{6}\)(vô lý)

Vậy: \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) là số vô tỉ

Link : Chứng minh rằng căn2 +căn3 là số vô tỉ 

Giả sử \(\sqrt{7}\) là số hữu tỉ 

Ta có :

\(\sqrt{7}=\dfrac{a}{b}\) (a,b nguyên tố cũng nhau)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^2}=7\)

\(\Leftrightarrow a^2=7b^2\)

\(\Leftrightarrow a^2⋮7\) Mà 7 là số nguyên tố 

\(\Leftrightarrow a⋮7\) \(\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2⋮49\)

\(\Leftrightarrow7b^2⋮49\)

\(\Leftrightarrow b⋮7\) \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrow a,b\) không ngto cùng nhau

\(\Leftrightarrow\) Giả sử sai

Vậy..

Giả sử căn 7 là số hữu tỉ. Khi đó 

\(\sqrt{7}=\dfrac{a}{b}\left(a,b\in N;a,b>0;\left(a,b\right)=1\right)\)

\(\Rightarrow7b^2=a^2\)

\(\Rightarrow a^2⋮7\Rightarrow a⋮7\Rightarrow a^2⋮49\Rightarrow7b^2⋮49\Rightarrow b^2⋮7\Rightarrow b⋮7\\ \Rightarrow\left(a,b\right)⋮7\Rightarrow1⋮7\left(VL\right)\)

=> giả sử sai .

Vậy căn 7 là số vô tỉ

giả sử √7 là số hữu tỉ 
=> √7 = a/b (a,b ∈ Z ; b ≠ 0) 
không mất tính tổng quát giả sử (a;b) = 1 
=> 7 = a²/b² 
<=> a² = b7² 
=> a² ⋮ 7 
7 nguyên tố 
=> a ⋮ 7 
=> a² ⋮ 49 
=> 7b² ⋮ 49
=> b² ⋮ 7
=> b ⋮ 7 
=> (a;b) ≠ 1 (trái với giả sử) 
=> giả sử sai 
=> √7 là số vô tỉ

Giả sử căn 3 không phải số vô tỉ suy ra:

tồn tại số m và n  sao cho căn 3 = m/n   (m,n là nguyên tố cùng nhau)

khi đó  3n^2 = m^2

=> m chia hết 3, đặt m=3p ( p là số nguyên)

thay m = 3p ta có

3n^2 = 9p^2

n^2 = 3p^2

=> n chia hết cho 3

=> m và n cùng chia hết cho 3

mâu thuẫn với giả thiết ban đầu , m/n tối giản , m,n là nguyên tố cùng nhau

=> căn 3 là số vô tỉ

Giả sử \(\sqrt{7}\) là số hữu tỉ \(\Rightarrow\sqrt{7}=\dfrac{m}{n}\left(m,n\in Z;n\ne0\right)\) sao cho \(\left(m,n\right)=1\)

\(\Rightarrow m^2=7n^2\) \(\Rightarrow m^2⋮7\)

Do 7 là số nguyên tố nên \(m⋮7\Rightarrow m=7k\Rightarrow49k^2=7n^2\Rightarrow n^2=7k^2\)

Suy luận như trên ta được \(n⋮7\)

\(\Rightarrow7\inƯC\left(m,n\right)\) (mâu thuẫn giả thiết \(\left(m,n\right)=1\))

Vậy \(\sqrt{7}\) là số vô tỉ

Giả sử phản chứng √7 là số hữu tỉ ⇒ √7 có thể biểu diễn dưới dạng phân số tối giản m/n  √7= m/n  ⇒ 7 = m²/n²  ⇒ m² =7n²  ⇒ m² chia hết cho n²  ⇒ m chia hết cho n (vô lý vì m/n là phân số tối giản nên m không chia hết cho n)  Vậy giả sử phản chứng là sai. Suy ra √7 là số vô tỉ.

Giả sử \(\sqrt{7}\) là số hữu tỉ

=> \(\sqrt{7}=\dfrac{m}{n}\)(Tối giản)

=> 7=\(\dfrac{m^2}{n^2}\)hay 7n²=m²(1)

Đẳng thức này chứng tỏ m²\(⋮7\)mà 7 là số nguyên tố nên \(m⋮7\).

Đặt m=7k (\(k\in Z\)), ta có m²=49k²(2)

Từ (1) và (2) suy ra 7n²=49k² nên n²=7k²(3)

Từ (3) ta lại có \(n^2⋮7\)và vì 7 là số nguyên tố nên n⋮7. m và n cùng chia hết cho 7 nên phân số \(\dfrac{m}{n}\)không tối giản, trái giả thiết.

Vậy \(\sqrt{7}\) không phải số hữu tỉ; do đó \(\sqrt{7}\) là số vô tỉ.

Giả sử \(\sqrt{7}\) là số hữu tỉ được viết dưới dạng \(\dfrac{a}{b}\left(b\ne0\right)\) 

\(\Rightarrow\sqrt{7}=\dfrac{a}{b}\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{7}\right)^2=\left(\dfrac{a}{b}\right)^2\)

\(\Rightarrow7=\dfrac{a^2}{b^2}\)

\(\Rightarrow a^2=7b^2\)  

Nên: \(a^2\) ⋮ 7

\(\Rightarrow a\) ⋮ 7 (1)

Và: \(7b^2\) ⋮ 49

\(\Rightarrow b^2\) ⋮ 7

\(\Rightarrow b\) ⋮ 7 (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left(a;b\right)\ne1\) 

Theo giả sử thì: \(\left(a;b\right)=1\)

Điều giả sử là sai 

\(\Rightarrow\sqrt{7}\) không phải là số hữu tỉ mà là số vô tỉ (đpcm)