Giả sử \(\sqrt{7}\) là số hữu tỉ
=> \(\sqrt{7}=\dfrac{m}{n}\)(Tối giản)
=> 7=\(\dfrac{m^2}{n^2}\)hay 7n2=m2(1)
Đẳng thức này chứng tỏ m2\(⋮7\)mà 7 là số nguyên tố nên \(m⋮7\).
Đặt m=7k (\(k\in Z\)), ta có m2=49k2(2)
Từ (1) và (2) suy ra 7n2=49k2 nên n2=7k2(3)
Từ (3) ta lại có \(n^2⋮7\)và vì 7 là số nguyên tố nên n⋮7. m và n cùng chia hết cho 7 nên phân số \(\dfrac{m}{n}\)không tối giản, trái giả thiết.
Vậy \(\sqrt{7}\) không phải số hữu tỉ; do đó \(\sqrt{7}\) là số vô tỉ.
Giả sử \(\sqrt{7}\) là số hữu tỉ được viết dưới dạng \(\dfrac{a}{b}\left(b\ne0\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{7}=\dfrac{a}{b}\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{7}\right)^2=\left(\dfrac{a}{b}\right)^2\)
\(\Rightarrow7=\dfrac{a^2}{b^2}\)
\(\Rightarrow a^2=7b^2\)
Nên: \(a^2\) ⋮ 7
\(\Rightarrow a\) ⋮ 7 (1)
Và: \(7b^2\) ⋮ 49
\(\Rightarrow b^2\) ⋮ 7
\(\Rightarrow b\) ⋮ 7 (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left(a;b\right)\ne1\)
Theo giả sử thì: \(\left(a;b\right)=1\)
Điều giả sử là sai
\(\Rightarrow\sqrt{7}\) không phải là số hữu tỉ mà là số vô tỉ (đpcm)
