a) G là giao điểm của hai đường trung tuyến AM và BN nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Suy ra: \(AG = 2GM\).  Mà trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MG nên \(GD = 2GM\).

Vậy GA = GD (= 2GM).

b) Xét hai tam giác MBG và MCD có:

     MB = MC (M là trung điểm cạnh BC)

     \(\widehat {GMB} = \widehat {DMC}\)(đối đỉnh)

     GM = GD.

Vậy \(\Delta MBG = \Delta MCD\)(c.g.c).

c) \(\Delta MBG = \Delta MCD\) nên BG = CD (2 cạnh tương ứng).

Mà G là trọng tâm tam giác ABC nên \(BG = 2GN\). Mà BG = CD nên \(CD = 2GN\).

Câu 1: 

a, Vì AD là trung tuyến \(\Rightarrow AG=\frac{2}{3}AD\)\(\Rightarrow GD=\frac{1}{3}AD\)\(\Rightarrow GM=\frac{2}{3}AD\)(D là trung điểm MG)

\(\Rightarrow AG=GM\)

Vì BE là trung tuyến \(\Rightarrow BG=\frac{2}{3}BE\)\(\Rightarrow GE=\frac{1}{3}BE\)\(\Rightarrow GN=\frac{2}{3}BE\)(E là trung điểm GN)

\(\Rightarrow BG=GN\)

​b, Xét △ANG và △MBG

Có: AG = MG (cmt)

    AGN = MGB (2 góc đối đỉnh)

      NG = BG (cmt)

=> △ANG = △MBG (c.g.c)

=> AN = MB (2 cạnh tương ứng)

và ANG = MBG (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong

=> AN // MB (dhnb)

Câu 2: sai đề???

1: Xét ΔBMG và ΔCMD có

BM=CM(AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của ΔABC)

\(\widehat{BMG}=\widehat{CMD}\)(hai góc đối đỉnh)

GM=DM(M là trung điểm của GD)

Do đó: ΔBMG=ΔCMD(c-g-c)

⇒\(\widehat{GBM}=\widehat{DCM}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{GBM}\) và \(\widehat{DCM}\) là hai góc ở vị trí so le trong

nên BG//DC(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

2: Xét ΔABC có

AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(gt)

BN là đường trung tuyến ứng với cạnh AC(gt)

AM\(\cap\)BN={G}

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC(định lí ba đường trung tuyến của tam giác)

⇒\(AG=\frac{2}{3}AM\)(tính chất)(1)

Ta có: AG+GM=AM(G nằm giữa A và M)

hay \(GM=AM-AG=AM-\frac{2}{3}AM=\frac{1}{3}AM\)

mà GD=2GM(M là trung điểm của GD)

nên \(GD=2\cdot\frac{1}{3}AM=\frac{2}{3}AM\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AG=GD

mà A,G,D thẳng hàng(A,G,M,D thẳng hàng)

nên G là trung điểm của AD

Xét ΔADC có

G là trung điểm của AD(cmt)

N là trung điểm của AC(BN là đường trung tuyến ứng với cạnh AC của ΔABC)

Do đó: GN là đường trung bình của ΔADC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒GN//DC và \(GN=\frac{DC}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(3)

Ta có: G là trọng tâm của ΔABC(cmt)

⇒\(GN=\frac{1}{3}BN\)(tính chất)(4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{DC}{2}=\frac{1}{3}BN\)

⇔\(\frac{DC}{2}=\frac{BN}{3}\)

hay \(3\cdot CD=2\cdot BN\)(ddpcm)

a, áp dụng định lí py-ta-go ta có:

            \(BC^2\)=\(AB^2+AC^2\)

=>    \(AC^2=BC^2-AB^2\)

=>    \(AC^2=100-36\)

=>    \(AC^2=64\)cm => AC=8 cm

vậy AC=8 cm

vì BC>AC>AB(10cm>8cm>6cm)

=> \(\widehat{A}\)>\(\widehat{B}\)>\(\widehat{C}\)(góc đối diện vs cạnh lớn hơn là góc lớn hơn) đpcm

b, Xét 2 t.giác vuông BCA và DCA có:

               AB=AD(gt)

              AC cạnh chung

=> \(\Delta\)BCA=\(\Delta\)DCA(cạnh góc vuông-cạnh góc vuông)

=> BC=DC(2 cạnh tương ứng)

=>t.giác BCD cân tại C (đpcm)

c, xét t.giác BCD : A là trung điểm BD, K là trung điểm của BC, AC và DK cắt nhau tại M

=> M là trọng tâm của \(\Delta\)BCD => MC=\(\frac{2}{3}\)AC(tính chất 3 đường trung tuyến)

=> MC=\(\frac{2}{3}\).8\(\approx\)5,3 cm

vậy MC\(\approx\)5,3 cm