CD nhận \(\left(3;-4\right)\) là 1 vtpt

Đường thẳng AD vuông góc CD nên nhận \(\left(4;3\right)\) là 1 vtpt

Phương trình AD:

\(4\left(x+2\right)+3\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow4x+3y+5=0\)

Thay tọa độ A và B vào d thấy kết quả cùng dấu \(\Rightarrow\) A và B nằm cùng phía so với d

Gọi C là điểm đối xứng A qua d \(\Rightarrow MA=CM\Rightarrow MA+MB=CM+MB\ge CB\)

\(\Rightarrow MA+MB\) nhỏ nhất khi M;B;C thẳng hàng hay M là giao điểm của đường thẳng BC và d

Phương trình d' qua A và vuông góc d có dạng:

\(1\left(x-1\right)+2\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow x+2y-1=0\)

D là giao điểm d và d' \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2y-1=0\\2x-y+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(-1;1\right)\)

C đối xứng A qua d khi và chỉ khi D là trung điểm AC \(\Rightarrow C\left(-3;1\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{CB}=\left(5;0\right)=5\left(1;0\right)\Rightarrow\) phương trình BC có dạng:

\(0\left(x-2\right)+1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow y-1=0\)

M là giao điểm d và BC nên tọa độ thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}y-1=0\\2x-y+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(-\frac{3}{2};1\right)\)

Đường tròn tâm \(I\left(3;-2\right)\) bán kính \(R=5\)

Áp dụng định lý Pitago: \(d\left(I;AB\right)=\sqrt{R^2-\left(\frac{AB}{2}\right)^2}=3\)

d' song song d nên pt có dạng: \(3x-4y+c=0\) (với \(c\ne-2\))

\(d\left(I;d'\right)=3\Leftrightarrow\frac{\left|3.3-4.\left(-2\right)+c\right|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}}=3\)

\(\Leftrightarrow\left|c+17\right|=15\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=-2\left(l\right)\\c=-32\end{matrix}\right.\)

Vậy pt d': \(3x-4y-32=0\)

b/ \(\Delta\) là tiếp tuyến (C) \(\Leftrightarrow d\left(I;\Delta\right)=R\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left|3.3+4.\left(-2\right)+m\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=5\Leftrightarrow\left|m+1\right|=25\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=24\\m=-26\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường thẳng thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}3x+4y+24=0\\3x+4y-26=0\end{matrix}\right.\)

c/ Thay tọa độ đường thẳng vào pt (C) được:

\(\left(3+2t\right)^2+\left(-2-t\right)^2-6\left(3+2t\right)+4\left(-2-t\right)-12=0\)

\(\Leftrightarrow5t^2-25=0\Rightarrow t=\pm\sqrt{5}\)

Tọa độ giao điểm: \(\left\{{}\begin{matrix}A\left(3+2\sqrt{5};-2-\sqrt{5}\right)\\B\left(3-2\sqrt{5};-2+\sqrt{5}\right)\end{matrix}\right.\)

Gọi \(A\left(a;1-a\right)\) ; \(B\left(b;2b-1\right)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(a-1;2-a\right)\\\overrightarrow{MB}=\left(b-1;2b\right)\end{matrix}\right.\)

\(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=0\Leftrightarrow\left(2a-2;4-2a\right)+\left(b-1;2b\right)=\left(0;0\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a-2+b-1=0\\4-2a+2b=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a+b=3\\-2a+2b=-4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{5}{3}\\b=-\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A\left(\frac{5}{3};-\frac{2}{3}\right);B\left(-\frac{1}{3};-\frac{5}{3}\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(2;1\right)\)

Phương trình AB:

\(1\left(x-\frac{5}{3}\right)-2\left(y+\frac{2}{3}\right)=0\Leftrightarrow x-2y-3=0\)

\(\overrightarrow{AB}=\left(3;-4\right)\) , gọi M là trung điểm AB \(\Rightarrow M\left(-\frac{1}{2};1\right)\)

Trung trực AB qua M và vuông góc AB nên có pt:

\(3\left(x+\frac{1}{2}\right)-4\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow6x-8y+11=0\)

b/ \(AB=\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}=5\Rightarrow R=AB=5\)

Pt đường tròn: \(\left(x+2\right)^2+\left(y-3\right)^2=25\)

c/ Chắc là viết pttt?

Tiếp tuyến song song denta nên có pt: \(3x+4y+c=0\) (\(c\ne-1\))

d tiếp xúc (C) nên \(d\left(A;d\right)=R\Leftrightarrow\frac{\left|3.\left(-2\right)+4.3+c\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=5\)

\(\Leftrightarrow\left|c+6\right|=25\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=19\\c=-31\end{matrix}\right.\)

Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}3x+4y+19=0\\3x+4y-21=0\end{matrix}\right.\)

Giả sử d có 1 vtpt là \(\left(a;b\right)\) với \(a^2+b^2\ne0\)

\(cos45^0=\frac{\left|a.2+b.\left(-1\right)\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow2\left(2a-b\right)^2=5a^2+5b^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(4a^2-4ab+b^2\right)=5a^2+5b^2\)

\(\Leftrightarrow3a^2-8ab-3b^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-3b\right)\left(3a+b\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=3b\\b=-3a\end{matrix}\right.\)

Chọn \(\left(a;b\right)=\left[{}\begin{matrix}\left(3;1\right)\\\left(1;-3\right)\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường thẳng thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}3\left(x-1\right)+1\left(y-1\right)=0\\1\left(x-1\right)-3\left(y-1\right)=0\end{matrix}\right.\)

Đường tròn (C) tâm \(I\left(-1;2\right)\) bán kính \(R=\sqrt{\left(-1\right)^2+2^2+4}=3\)

Áp dụng định lý Pitago:

\(d\left(I;d\right)=\sqrt{R^2-\left(\frac{6}{2}\right)^2}=0\)

\(\Rightarrow d\) đi qua I

d vuông góc \(\Delta\) nên d nhận \(\left(1;2\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d:

\(1\left(x+1\right)+2\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x+2y-3=0\)

\(AB\perp BC\Rightarrow AB\perp d\Rightarrow\) B là hình chiếu vuông góc của A lên d

Phương trình đường thẳng d' qua A và vuông góc d có dạng:

\(2\left(x-0\right)+1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow2x+y-2=0\)

B là giao d và d' nên tọa độ: \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+2=0\\2x+y-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(\frac{2}{5};\frac{6}{5}\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(\frac{2}{5};-\frac{4}{5}\right)\Rightarrow AB=\frac{2\sqrt{5}}{5}\Rightarrow BC=\frac{\sqrt{5}}{5}\)

Gọi \(C\left(2c-2;c\right)\Rightarrow\overrightarrow{BC}=\left(2c-\frac{12}{5};c-\frac{6}{5}\right)\)

\(\Rightarrow\left(2c-\frac{12}{5}\right)^2+\left(c-\frac{6}{5}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow5c^2-12c+7=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=1\\c=\frac{7}{5}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}C\left(0;1\right)\\C\left(\frac{4}{5};\frac{7}{5}\right)\end{matrix}\right.\)