Ta có: \(\frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}\)\(\Leftrightarrow a\left(c^2+b^2\right)=c\left(a^2+b^2\right)\)\(\Leftrightarrow ac^2+ab^2=a^2c+b^2c\Leftrightarrow ac\left(c-a\right)-b^2\left(c-a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-a\right)\left(ac-b^2\right)=0\)

Vì \(a\ne c\)nên \(c-a\ne0\)

Do đó \(ac-b^2=0\Leftrightarrow ac=b^2\Rightarrow\sqrt{ac}=b\)

Giả sử \(a^2+b^2+c^2\)là số nguyên tố

Ta có \(a^2+b^2+c^2=a^2+ac+c^2=\left(a+c\right)^2-ac=\left(a+c\right)^2-b^2\)\(=\left(a-b+c\right)\left(a+b+c\right)\)

\(=\left[\left(\sqrt{a}\right)^2-2\sqrt{ac}+\left(\sqrt{c}\right)^2+\sqrt{ac}\right]\left[\left(\sqrt{a}\right)^2-2\sqrt{ac}+\left(\sqrt{c}\right)^2+3\sqrt{ac}\right]\)

\(\left[\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+\sqrt{ac}\right]\left[\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+3\sqrt{ac}\right]\)

Vì \(a^2+b^2+c^2\)là số nguyên tố nên có một ước số là 1

Mà \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+\sqrt{ac}< \left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+3\sqrt{ac}\)

nên \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+\sqrt{ac}=1\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2=1-\sqrt{ac}\)

Vì \(a\ne c\Rightarrow\sqrt{a}\ne\sqrt{c}\Rightarrow\sqrt{a}-\sqrt{c}\ne0\)\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2>0\)

Do đó \(1-\sqrt{ac}>0\Rightarrow\sqrt{ac}< 1\Rightarrow ac< 1\)(1)

Mà \(a^2+b^2>0\)và \(c^2+b^2>0\)nên \(\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}>0\Rightarrow\frac{a}{c}>0\Rightarrow\)a, c cùng dấu \(\Rightarrow ac>0\)(2)

Từ (1), (2) suy ra \(0< ac< 1\)

Mà a,c là số nguyên nên ac là số nguyên 

Do đó không có giá trị a,c thỏa mãn

suy ra điều giả sử sai

Vậy \(a^2+b^2+c^2\) không thể là số nguyên tố

tự giải vl

Ể vậy là tự hỏi tự trả lời luôn kì vậy ai chơi

Ta có:

\(\frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}\)

\(\Leftrightarrow ac^2+ab^2=ca^2+cb^2\)

\(\Leftrightarrow ac\left(c-a\right)=b^2\left(c-a\right)\)

\(\Leftrightarrow ac=b^2\)

Thế vô ta được

\(a^2+b^2+c^2=a^2+2ac+c^2+b^2-2ac\)

\(=\left(a+c\right)^2-b^2=\left(a+c-b\right)\left(a+c+b\right)\)

Làm nốt

Trong ba số tự nhiên a,b,c phải có ít nhất hai số cùng chẵn lẻ .

Giả sử : hai số đó là a và b .

Vì : bc cùng tính chẵn lẻ với b ⇒p=bc+a⇒p=bc+a chẵn

Mà : p là số nguyên tố ⇒p=2⇒b=a=1⇒p=2⇒b=a=1

Khi đó : q=ab+c=1+c=ca+1=ca+b=rq=ab+c=1+c=ca+1=ca+b=r

Nếu hai số cùng tính chẵn lẻ là a và c hoặc b và c thì ta làm tương tự như trên

⇒⇒ Trong ba số nguyên tố p,q,r phải có hai số bằng nhau .

Lời giải:

Ta thấy:
$(ab+cd)(ac+bd)=ad(c^2+b^2)+bc(a^2+d^2)$

$=(ad+bc)t$

Mà: 

$2(t-ab-cd)=(a-b)^2+(c-d)^2>0$ nên $t> ab+cd$

Tương tự: $t> ac+bd$

Kết hợp $(ab+cd)(ac+bd)=(ad+bc)t$ nên:

$ab+cd> ad+bc, ac+bd> ad+bc$

Nếu $ab+cd, ac+bd$ đều thuộc $P$. Do $ad+bc$ là ước của $ab+cd$ hoặc $ac+bd$. Điều này vô lý 

Do đó ta có đpcm.

Lời giải:

Không mất tổng quát giả sử $a\leq b\leq c$

Nếu $a,b,c$ đều là số nguyên tố lẻ thì $a^2+b^2+c^2$ là số lẻ. Mà $5070$ chẵn nên vô lý.

Do đó trong 3 số $a,b,c$ tồn tại ít nhất 1 số chẵn.

Số nguyên tố chẵn luôn là số bé nhất (2) nên $a=2$

Khi đó: $b^2+c^2=5070-a^2=5066\geq 2b^2$

$\Rightarrow b^2\leq 2533$

$\Rightarrow b< 51$

$\Rightarrow b\in \left\{2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47\right\}$

Thử các TH này ta thấy $(b,c)=(5,71), (29,65)$
Vậy $(a,b,c)=(2,5,71), (2,29,65)$ và các hoán vị.

vì 5070 là số chẵn ⇒ một trong 3 số a,b,c chẵn hoặc cả 3 số a,b,c chẵn 

+) cả 3 số a,b,c chẵn

=> a=2, b=2, c=2 ( vì a,b,c là các số nguyên tố )

khi đó: a²+b²+c²= 12(loại)

=> một trong 3 số a,b,c chẵn 

vì giá trị các số bằng nhau, giả sử a chẵn => a=2

khi đó: a²+b²+c²= 4+b²+c²

=> b²+c²= 5066

vì số chính phương có tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 mà b² và c² là số chính phương có tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 

=> b² và c² có tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 

Mà b và c lẻ 

=> b² và c² có tận cùng là 1, 5, 9 

mà 5066 có tận cùng là 6

=> b² và c² có tận cùng là 1, 5

=> b và c có tận cùng là 1, 5

giả sử b có tận cùng là 5=> b=5

khi đó: 25+ c² = 5066

                   c² = 5041=71²

=> c = 71

vậy, a=2, b=5, c=71 và các hoán vị của nó