\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp SB\\SA\perp SD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow SA\perp\left(SBD\right)\)

Do đó \(\overrightarrow{SA}\) vuông góc tất cả các vecto thuộc mặt phẳng (SBD)

\(BD=a\sqrt{2}\)

\(\widehat{\left(\overrightarrow{BD};\overrightarrow{BS}\right)}=\widehat{SBD}=\dfrac{SB^2+BD^2-SD^2}{2SB.BD}=\dfrac{a^2+2a^2-a^2}{2a.a\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{\left(\overrightarrow{BD};\overrightarrow{BS}\right)}=45^0\)

Lời giải:$ABCD$ là hình vuông nên $AC=\sqrt{2}a$

Ta thấy: $SA^2+SC^2=a^2+a^2=2a^2=AC^2$

$\Rightarrow SAC$ là tam giác vuông tại $S$

$\Rightarrow \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}=0$

3.

a.

 \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\BC\perp AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAC\right)\)

b.

Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow IM||AC\)

\(\Rightarrow AC||\left(SIM\right)\Rightarrow d\left(AC;SI\right)=d\left(AC;\left(SIM\right)\right)=d\left(A;\left(SIM\right)\right)\)

Qua A kẻ đường thẳng song song BC cắt IM kéo dài tại K

\(\Rightarrow IM\perp AK\Rightarrow IM\perp\left(SAK\right)\)

Trong mp (SAK), kẻ AH vuông góc SK

\(\Rightarrow AH\perp\left(SIM\right)\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SIM\right)\right)\)

\(AK=CM=\dfrac{b}{2}\)

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AK^2}\Rightarrow AH=\dfrac{SA.AK}{\sqrt{SA^2+AK^2}}=\dfrac{\dfrac{h.b}{2}}{\sqrt{h^2+\dfrac{b^2}{4}}}=\dfrac{bh}{\sqrt{b^2+4h^2}}\)

1.

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AB\\AD\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AB\perp\left(SAD\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{SBA}\) là góc giữa SB và (SAD)

\(tan\widehat{SBA}=\dfrac{SA}{AB}=\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{SBA}=60^0\)

2.

\(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}SA\perp AB\\SA\perp AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) các tam giác SAB và SAC vuông

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\BC\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp SB\)

\(\Rightarrow\) Tam giác SBC vuông

Vậy tứ diện có 4 mặt đều là tam giác vuông (ABC hiển nhiên vuông theo giả thiết)

Đáp án B

Diện tích hình thang ABCD là:

S A B C D = A B . A D + B C 2 = 5

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:

V = 1 3 . S A . S A B C D = 1 3 . S A . S A B C D = 1 3 .2.5 = 10 3 (đvtt)

Đề bài \(\Rightarrow SA\perp\left(ABCD\right)\)

\(3\overrightarrow{SM}=\overrightarrow{SB}+2\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SM}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{SM}+2\overrightarrow{MC}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow M\) là điểm nằm giữa BC đồng thời \(MB=2MC\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MB=2\\MC=1\end{matrix}\right.\)

Tương tự, N nằm giữa CD sao cho \(NC=2\) ; \(ND=1\)

Qua N kẻ đường thẳng song song DM cắt AB kéo dài tại P 

Tới đây thì vấn đề đơn giản: quy về tìm khoảng các giữa A và (SNP).

Kéo dài DM cắt AB kéo dài tại E, Talet: \(\dfrac{CD}{AE}=\dfrac{CM}{BM}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow AE=2CD=6\)

Nối AN cắt DM tại F, Talet: \(\dfrac{NF}{AF}=\dfrac{DN}{AE}=\dfrac{1}{6}\Rightarrow\dfrac{NF}{AN}=\dfrac{1}{7}\)

\(\Rightarrow d\left(DM;SN\right)=d\left(DM;\left(SNP\right)\right)=d\left(F;\left(SNP\right)\right)=\dfrac{1}{7}d\left(A;\left(SNP\right)\right)\)

Tứ giác DNPE là hbh \(\Rightarrow DN=EP=1\Rightarrow AP=7\)

Tính k/c từ A đến (SNP) bạn tự hoàn thành nhé, rất cơ bản

Bài này nếu được áp dụng tọa độ của 12 thì rất lẹ

Đáp án là B

Vì SA vuông góc với đáy nên góc φ  giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa SC và hình chiếu AC của nó lên đáy. Suy ra  φ = S C A ^  (vì  S C A ^ là góc nhọn trong tam giác vuông SAC)

Trong hình chữ nhật ABCD, ta có AC=a 3 . Suy ra tam giác SAC vuông cân ở A.

Vậy, số đo của góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45⁰

Đáp án D

\(V_{SBCD}=\dfrac{1}{2}V_{SABCD}=\dfrac{1}{6}.SA.AB.AD=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{3}\)