Phương pháp:

Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy S và chiều cao h là: V = 1 3 S h  

Cách giải:

Đáp án D 

Gọi H,M lần lượt là trung điểm của AB và CD

Vì Δ S A B  đều và mặt phẳng S A B ⊥ A B C D ⇒ S H ⊥ A B C D   .

Ta có

C D ⊥ H M C D ⊥ S H ⇒ C D ⊥ S H M     (1)

Gọi I là hình chiếu vuông góc của H  lên mặt phẳng   S C D (2) 

Từ (1) và (2) suy ra   H I ⊥ S C D

  Vì  A B // C D ⇒ A B // S C D ⇒ d A , S C D = d H , S C D = H I = 3 a 7 7

Giải sử A B = x    x > 0 ⇒ S H = x 3 2 H M = x   .

Mặt khác: 1 H I 2 = 1 H M 2 + 1 S H 2   ⇔ 7 9 a 2 = 1 x 2 + 4 3 x 2 ⇔ x 2 = 3 a 2 ⇒ x = 3 a  

Thể tích:   V S . A B C D = 1 3 S H . S A B C D = 1 3 . 3 a 2 .3 a 2 = 3 a 3 2  (đvtt)

Gọi H là trung điểm của AB, suy ra A H ⊥ A B C D .

Gọi G là trọng tâm tam giác ∆SAB và O là tâm hình vuông ABCD.

Từ G kẻ GI//HO suy ra GI là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ∆SAB và từ O kẻ OI//SH thì OI là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.

Ta có hai đường này cùng nằm trong mặt phẳng và cắt nhau tại I.

Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

R = S I = S G 2 + G I 2 = a 21 6 .

Suy ra thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là  V = 4 3 π R 3 = 7 21 54 π a 3

Đáp án A