Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SCD là tam giác vuông cân tại đỉnh S. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB,CD.
a) Tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh SI vuông góc (SCD), SJ vuông góc (SAB).
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. CMR: SH vuông góc với AC
c) Gọi M là một điểm trên đường thẳng CD sao cho: BM vuông góc với SA. Tính AM theo a
Mình chỉ còn câu C chưa làm được và cho mình coi hình vẽ vs
Dễ dàng chứng minh \(SH\perp\left(ABCD\right)\)
\(SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp BM\)
Mà \(BM\perp SA\Rightarrow BM\perp\left(SAH\right)\Rightarrow BM\perp AH\)
Do đó điểm M được dựng bằng cách: nối AH kéo dài cắt BC tại N, qua B kẻ đường thẳng vuông góc AN cắt CD tại M, cắt AN tại P
\(SI^2+SJ^2=IJ^2\Rightarrow\Delta SIJ\) vuông tại S
Theo hệ thức lượng: \(IH.IJ=SI^2\Rightarrow IH=\frac{SI^2}{IJ}=\frac{3a}{4}\)
IH là đường trung bình tam giác ABN (đi qua trung điểm cạnh bên và song song cạnh đáy) \(\Rightarrow BN=2IH=\frac{3a}{2}\)
\(\frac{1}{BP^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{BN^2}\Rightarrow BP=\frac{AB.BN}{\sqrt{AB^2+BN^2}}=\frac{3a}{\sqrt{13}}\)
\(\Rightarrow sinN=\frac{BP}{BN}=\frac{2}{\sqrt{13}}=cos\widehat{NBP}\)
\(\Rightarrow tan\widehat{NBP}=\sqrt{\frac{1}{cos^2\widehat{NBP}}-1}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{MC}{BC}=\frac{3}{2}\Rightarrow MC=\frac{3a}{2}\Rightarrow MD=\frac{a}{2}\)
\(\Rightarrow MA=\sqrt{MD^2+AD^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)
