Đường tròn có tâm \(I\left(1;-2\right)\) bán kính \(R=2\)

\(IA=\sqrt{\left(1-1\right)^2+\left(-3+2\right)^2}=1< 2\Rightarrow A\) nằm phía trong đường tròn

Gọi M là điểm bất kì thuộc đường tròn (C) và CD là đường kính đi qua A (với A nằm giữa I và C)

Áp dụng BĐT tam giác cho tam giác AIM ta có: \(AM\le IA+IM\)

Mà \(IM=ID=R\Rightarrow AM\le IA+ID=AD\)

\(\Rightarrow AM_{max}=AD\) với D là giao điểm của đường thẳng IA và đường tròn (I nằm giữa A và D)

\(\overrightarrow{AI}=\left(0;1\right)\Rightarrow\) đường thẳng IA có 1 vtpt \(\overrightarrow{n}=\left(1;0\right)\)

Phương trình IA: \(1\left(x-1\right)+0\left(y+3\right)=0\Leftrightarrow x-1=0\)

Tung độ giao điểm của IA và đường tròn:

\(1+y^2-2+4y+1=0\Rightarrow y^2+4y=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\y=-4\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy \(M\left(1;0\right)\)

(C) : (x - 1)² + (y + 2)² = 9 

Vậy (C) có tâm I (1 ; - 2) và bán kính R = 3

Qua phép đối xứng qua trục Oy, tâm I biến thành I' (- 1 ; - 2)

Phương trình ảnh của (C)

(x + 1)² + (y + 2)² = 9

Bài 1:

Đường tròn tâm \(I\left(1;3\right)\) bán kính \(R=2\)

\(\overrightarrow{IM}=\left(-4;-2\right)\Rightarrow IM=\sqrt{\left(-4\right)^2+\left(-2\right)^2}=2\sqrt{5}>R\)

\(\Rightarrow\) M nằm ngoài (C)

Phương trình đường thẳng d qua M có dạng:

\(a\left(x+3\right)+b\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow ax+by+3a-b=0\)

d là tiếp tuyến \(\Leftrightarrow d\left(I;d\right)=R\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left|a+3b+3a-b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=2\Leftrightarrow\left|2a+b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)

\(\Leftrightarrow4a^2+4ab+b^2=a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow3a^2+4ab=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\3a=-4b\end{matrix}\right.\) chọn \(a=4\Rightarrow b=-3\)

Có 2 tiếp tuyến: \(\left[{}\begin{matrix}y-1=0\\4x-3y+15=0\end{matrix}\right.\)

Tọa độ A là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}y-1=0\\x^2+y^2-2x-6y+6=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(1;1\right)\)

Tọa độ B là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}4x-3y+15=0\\x^2+y^2-2x-6y+6=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(-\frac{3}{5};\frac{21}{5}\right)\)

Bài 1b/

\(\Delta'\) nhận \(\left(2;1\right)\) là 1 vtpt

Gọi vtpt của d' có dạng \(\left(a;b\right)\Rightarrow\frac{\left|2a+b\right|}{\sqrt{2^2+1^2}.\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\left|2a+b\right|=\sqrt{5\left(a^2+b^2\right)}\Leftrightarrow2\left(2a+b\right)^2=5\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow3a^2+8ab-3b^2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-3b\\3a=b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) d' có 2 vtpt thỏa mãn là \(\left(3;-1\right)\) và \(\left(1;3\right)\)

TH1: d' có pt dạng \(3x-y+c=0\)

\(d\left(I;d'\right)=R\Leftrightarrow\frac{\left|3.1-3+c\right|}{\sqrt{3^2+1^2}}=2\Rightarrow c=\pm2\sqrt{10}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3x-y+2\sqrt{10}=0\\3x-y-2\sqrt{10}=0\end{matrix}\right.\)

TH2: d' có dạng \(x+3y+c=0\)

\(d\left(I;d'\right)=R\Leftrightarrow\frac{\left|1+3.3+c\right|}{\sqrt{10}}=2\Leftrightarrow\left|c+10\right|=2\sqrt{10}\Rightarrow c=-10\pm2\sqrt{10}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+3y-10+2\sqrt{10}=0\\x+3y-10-2\sqrt{10}=0\end{matrix}\right.\)

Bài 2:

Đường tròn \(\left(C_1\right)\) tâm \(\left(1;2\right)\) bán kính \(R=2\)

a/ Không hiểu đề bài, bạn ghi rõ thêm ra được chứ?

Tiếp tuyến đi qua giao điểm của \(\Delta_1;\Delta_2\) hay tiếp tuyến tại các giao điểm của \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) với đường tròn?

b/ Lại không hiểu đề nữa, điểm I trong tam giác \(IAB\) đó là điểm nào vậy bạn?

Bài 1:

Gọi d' là đường thẳng qua A và vuông góc d

Phương trình d':

\(4\left(x-1\right)+3\left(y+7\right)=0\Leftrightarrow4x+3y+17=0\)

Tâm của (C) nằm trên d' nên tọa độ có dạng \(I\left(a;\frac{-4a-17}{3}\right)\Rightarrow\overrightarrow{AI}=\left(a-1;\frac{4-4a}{3}\right)\)

\(IA^2=R^2\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(\frac{4-4a}{3}\right)^2=25\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)^2=9\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=4\\a=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}I\left(4;-11\right)\\I\left(-2;-3\right)\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường tròn thỏa mãn:

\(\left[{}\begin{matrix}\left(x-4\right)^2+\left(y+11\right)^2=25\\\left(x+2\right)^2+\left(y+3\right)^2=25\end{matrix}\right.\)

Bài 2:

Đường tròn (C) tâm \(I\left(-2;-\frac{7}{2}\right)\) bán kính \(R=\frac{\sqrt{133}}{2}\)

Sao số xấu dữ vậy ta? Số to như vầy tính toán mệt lắm

Gọi tiếp tuyến d của đường tròn có dạng:

\(a\left(x-2\right)+b\left(y-6\right)=0\Leftrightarrow ax+by-2a-6b=0\)

d tiếp xúc (C) \(\Leftrightarrow d\left(I;d\right)=R\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left|-2a-\frac{7}{2}b-2a-6b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\sqrt{133}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left|6a+19b\right|=\sqrt{133\left(a^2+b^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow97a^2-228ab-288b^2=0\)

Chắc bạn ghi sai đề thật, nghiệm pt này xấu hủy hoại, chắc chẳng ai cho đề kiểu như vầy hết

Đường tròn (C) tâm \(I\left(1;-2\right)\) bán kính \(R=\sqrt{5}\)

Điểm M thuộc (C) thỏa mãn khoảng cách từ M tới \(\Delta\) lớn nhất khi M là giao điểm của (C) và đường thẳng d qua I và vuông góc \(\Delta\)

Phương trình d có dạng:

\(2\left(x-1\right)-1\left(y+2\right)=0\Leftrightarrow2x-y-4=0\)

Hệ pt tọa độ giao điểm (C) và d:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-2x+4y=0\\y=2x-4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+\left(2x-4\right)^2-2x+4\left(2x-4\right)=0\\y=2x-4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-2x=0\\y=2x-4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\left(0;-4\right)\\M\left(2;0\right)\end{matrix}\right.\)

Với \(M\left(0;-4\right)\Rightarrow d\left(M;\Delta\right)=\dfrac{\left|-2.4+7\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)

Với \(M\left(2;0\right)\Rightarrow d\left(M;\Delta\right)=\dfrac{\left|2+0+7\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\dfrac{9}{\sqrt{5}}\)

Do \(\dfrac{9}{\sqrt{5}}>\dfrac{1}{\sqrt{5}}\) nên \(M\left(2;0\right)\) là điểm cần tìm