a) Gọi (d): y=ax+b

Vì (d)//y=2x-3 nên \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b\ne-3\end{matrix}\right.\)

Vậy: (d): y=2x+b

Vì (d) đi qua điểm C(-1;4) nên 

Thay x=-1 và y=4 vào (d), ta được:

\(2\cdot\left(-1\right)+b=4\)

hay b=6

Vậy: (d): y=2x+6

Thay y=0 vào (d), ta được:

2x+6=0

hay x=-3

Vậy: A(-3;0)

b) Vì y=ax+b đi qua hai điểm B(4;0) và C(-1;4) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}4a+b=0\\-a+b=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5a=-4\\b=a+4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{4}{5}\\b=\dfrac{-4}{5}+4=\dfrac{-4}{5}+\dfrac{20}{5}=\dfrac{16}{5}\end{matrix}\right.\)

a: Tọa độ A là:

y=0 và -2x+2=0

=>x=1 và y=0

=>A(1;0)

Tọa độ B là:

x=0 và y=-2x+2

=>x=0 và y=-2*0+2=2

=>B(0;2)

b: C thuộc Ox nên C(x;0)

D thuộc Oy nên D(0;y)

ABCD là hình thoi nên AB=AD và vecto AB=vecto DC

A(1;0); B(0;2); C(x;0); D(0;y)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-1;2\right);\overrightarrow{DC}=\left(x;-y\right)\)

\(AB=\sqrt{\left(0-1\right)^2+\left(2-0\right)^2}=\sqrt{5}\)

\(AD=\sqrt{\left(0-1\right)^2+\left(y-0\right)^2}=\sqrt{y^2+1}\)

vecto AB=vecto DC

=>x=-1 và -y=2

=>x=-1 và y=-2

AB=AD

=>y^2+1=5

=>y^2=4

=>y=2(loại) hoặc y=-2(nhận)

Vậy: x=-1 và y=-2

=>C(-1;0); D(0;-2)

Gọi phương trình (d2) có dạng là y=ax+b

(d2) đi qua C và D nên ta có hệ phương trình:

a*(-1)+b=0 và 0*a+b=-2

=>b=-2 và -a=-b=2

=>a=-2 và b=-2

=>y=-2x-2

c: (d1): y=-2x+2 và (d2): y=-2x-2

a) Gọi (d): y=ax+b

Vì (d)//y=2x-3 nên ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b\ne-3\end{matrix}\right.\)

=> (d): y=2x+b

Thay x=-1 và y=4 vào (d), ta được:

\(2\cdot\left(-1\right)+b=4\)

\(\Leftrightarrow b=6\)

Vậy: (D): y=2x+6

Thay y=0 vào (d),ta được:

\(2x+6=0\)

\(\Leftrightarrow x=-3\)

Vậy: A(-3;0)

b) Vì đồ thị hàm số y=ax+b đi qua hai điểm B(4;0) và C(-1;4) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}4a+b=0\\-a+b=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5a=-4\\-a+b=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{4}{5}\\b=4+a=4+\dfrac{-4}{5}=4-\dfrac{4}{5}=\dfrac{16}{5}\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(a=-\dfrac{4}{5}\); \(b=\dfrac{16}{5}\)

c) Độ dài đoạn thẳng AB là:

\(AB=\sqrt{\left(-3-4\right)^2+\left(0-0\right)^2}=7\)(cm)

Độ dài đoạn thẳng AC là:

\(AC=\sqrt{\left(-3+1\right)^2+\left(0-4\right)^2}=2\sqrt{5}\left(cm\right)\)

Độ dài đoạn thẳng BC là:

\(BC=\sqrt{\left(4+1\right)^2+\left(0-4\right)^2}=\sqrt{41}\left(cm\right)\)

Chu vi tam giác ABC là:

\(C_{ABC}=AB+AC+BC\)

\(=7+2\sqrt{5}+\sqrt{41}\)

\(\simeq17,9\left(cm\right)\)

\(a,\) Pt hoành độ giao điểm 

\(x=0\\ \Leftrightarrow y=-2\cdot0+3=3\\ \Leftrightarrow A\left(0;3\right)\)

Pt tung độ giao điểm

\(y=0\\ \Leftrightarrow0=-2x+3\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow B\left(\dfrac{3}{2};0\right)\)

1. Gọi d' là đường thẳng qua A và vuông góc d

\(\Rightarrow\) d' nhận (1;3) là 1 vtpt

Phương trình d':

\(1\left(x+2\right)+3\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow x+3y-4=0\)

H là giao điểm d và d' nên tọa độ thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x-y+4=0\\x+3y-4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{4}{5}\\y=\dfrac{8}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow H\left(-\dfrac{4}{5};\dfrac{8}{5}\right)\)

2.

Do A' đối xứng A qua d nên H là trung điểm AA'

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{A'}=2x_H-x_A=\dfrac{2}{5}\\y_{A'}=2y_H-y_A=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A'\left(\dfrac{2}{5};\dfrac{1}{5}\right)\)

3.

Gọi B là giao điểm d và \(\Delta\) thì tọa độ B thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x-y+4=0\\x+2y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(-\dfrac{3}{7};\dfrac{19}{7}\right)\)

Lấy điểm \(C\left(0;4\right)\) thuộc d

Phương trình đường thẳng \(d_1\) qua C và vuông góc \(\Delta\) có dạng:

\(2\left(x-0\right)-\left(y-4\right)=0\Leftrightarrow2x-y+4=0\)

Gọi D là giao điểm \(\Delta\) và \(d_1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2y-5=0\\2x-y+4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(-\dfrac{3}{5};\dfrac{14}{5}\right)\)

Gọi D' là điểm đối xứng C qua \(\Delta\Rightarrow\) D là trung điểm CD'

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{D'}=2x_D-x_C=-\dfrac{6}{5}\\y_{D'}=2y_D-y_C=\dfrac{8}{5}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\overrightarrow{BD'}=\left(-\dfrac{27}{35};-\dfrac{39}{35}\right)=-\dfrac{3}{35}\left(9;13\right)\)

Phương trình đường thẳng đối xứng d qua denta (nhận \(\left(9;13\right)\) là 1 vtcp và đi qua D':

\(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{6}{5}+9t\\y=\dfrac{8}{5}+13t\end{matrix}\right.\)

4.

Gọi \(d_1\) là đường thẳng đối xứng với d qua A

\(\Rightarrow d_1||d\Rightarrow d_1\) có dạng: \(3x-y+c=0\)

Do A cách đều d và \(d_1\) nên:

\(d\left(A;d\right)=d\left(A;d_1\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left|3.\left(-2\right)-3+4\right|}{\sqrt{3^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{\left|3.\left(-2\right)-3+c\right|}{\sqrt{3^2+\left(-1\right)^2}}\)

\(\Leftrightarrow\left|c-9\right|=5\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=4\left(loại\right)\\c=14\end{matrix}\right.\)

Vậy pt \(d_1\) có dạng: \(3x-y+14=0\)

Em tự chuyển sang 2 dạng còn lại

* Giao điểm với trục Ox:

Ta có: -2x + 3 = 0

⇔ 2x = 3

⇔ x = 3/2

⇒ A(3/2; 0) là giao điểm với trục Ox

* Giao điểm với trục Oy:

x = 0 ⇔ y = 3

⇒ B(0; 3) là giao điểm với trục Oy

* Khoảng cách từ O(0; 0) tới (d):

Xét đồ thị:

 Ta có:

AB² = OA² + OB² (Pytago)

= (3/2)² + 3²

= 45/4

⇒ AB = 3√5/2

Khoảng cách từ O đến (d) là đoạn thẳng OH

Ta có:

OH.AB = OA.OB

⇒ OH = OA.OB : AB

= 3/2 . 3 : (3√5/2)

= 3/√5

khoảng cách là \(\dfrac{3}{\sqrt{5}}\)