P/S: Ready?
Với a,b,c dương, chứng minh \(\text{∑}_{cyc}\frac{a^2+b^2}{a+b}\le\frac{3\left(\text{∑}_{cyc}a^2\right)}{a+b+c}\)
Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương ta có;
\(\Sigma_{cyc}\frac{a\left(b+c\right)}{\left(b+c\right)^2+a^2}\le\frac{6}{5}\)
\(Σ_{cyc}\frac{a^2}{b+c}\ge\frac{\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{2}\)
P/tích: \(\frac{a^2}{b+c}=\frac{\text{bậc 2}}{\text{bậc 1}}=\text{bậc 1}\). Tương tự cho 2 cái kia
\(\frac{\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{2}\) có \(a^2+b^2+c^2=\text{bậc 2}\Rightarrow\sqrt{3\left(Σ_{cyc}a^2\right)}\) có bậc là \(\frac{1}{2}\cdot2=1\)
Hay BĐT thuần nhất, chuẩn hóa \(a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\)
BĐT cần chứng minh \(Σ_{cyc}\frac{a^2}{3-a}\ge\frac{3}{2}\) UCT tiếp nhé :v
Bá đạo sever là tao cho xin cái đề
đề dòng đầu đó :V THêm a,b,c>0 nhé :v
nếu ko chuẩn hóa thì có cách khác ko,chứ chuẩn hóa thì dễ rồi
Cho a, b, c >0 thỏa mãn: \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=a^2b^2c^2\)
Chứng minh rằng: \(\Sigma_{cyc}\frac{1}{\sqrt{a^5+b^5}}\le\sqrt{\Sigma_{cyc}\frac{1}{b^2\left(a+b\right)}}\)
Áp dụng cosi ta có \(a.a.a.b.b\le\frac{3a^5+2b^5}{5};b.b.b.a.a\le\frac{3b^5+2a^5}{5}\)
=> \(a^5+b^5\ge a^2b^2\left(a+b\right)\)
Khi đó
\(VT\le\frac{1}{ab\sqrt{a+b}}+\frac{1}{bc\sqrt{b+c}}+\frac{1}{ac\sqrt{a+c}}\)
Áp dụng BĐT buniacoxki ta có :
\((\frac{1}{ab\sqrt{a+b}}+\frac{1}{bc\sqrt{b+c}}+\frac{1}{ac\sqrt{a+c}})^2\le\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\left(\frac{1}{b^2\left(a+b\right)}+\frac{1}{c^2\left(b+c\right)}+...\right)\)
Mà 1/a^2+1/b^2+1/c^2=1(giả thiết)
=> \(VT\le VP\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=can(3)
Trần Phúc Khang Đúng ngay ý tưởng chế đề:3
Cho a, b, c >0 thỏa mãn: \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=a^2b^2c^2\)
Chứng minh rằng: \(\Sigma_{cyc}\frac{1}{\sqrt{a^5+b^5}}\le\sqrt{\Sigma_{cyc}\frac{1}{b^2\left(a+b\right)}}\)
Mạnh hơn BĐT Nesbitt:
Chứng minh:\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}+\frac{\left[\Sigma_{cyc}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\right]\left(a-b\right)^2}{2\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left[\left(b+a\right)\left(c+a\right)+\left(c+b\right)\left(a+b\right)\right]}\)
Với a, b, c > 0
Bài này tao kiên trì trong nháp lắm rồi, nhưng trên này tao không kiên trì nữa đâu :))
Tóm lại bài này của mày quy đồng cả hai vế lên Kết hợp với điều giả sử \(a\ge b\ge c\)
Nên có đpcm.
Nguyễn Văn Đạt không cần giả sử nha
tth_new Thế nào cũng đc nhưng tao kiệt sức vì bài mày rồi :))
Còn bài kia thì ta xin chịu ....
Cho a, b, c >0 thỏa mãn: \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=a^2b^2c^2\)
\(\Sigma_{cyc}\frac{1}{\sqrt{a^5+b^5}}\le\sqrt{\Sigma_{cyc}\frac{1}{b^2\left(a+b\right)}}\)
Cho a, b, c >0 thỏa mãn: \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=a^2b^2c^2\)
\(\Sigma_{cyc}\frac{1}{\sqrt{a^5+b^5}}\le\sqrt{\Sigma_{cyc}\frac{1}{b^2\left(a+b\right)}}\)
Cho a, b, c >0 thỏa mãn: \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=a^2b^2c^2\)
\(\Sigma_{cyc}\frac{1}{\sqrt{a^5+b^5}}\le\sqrt{\Sigma_{cyc}\frac{1}{b^2\left(a+b\right)}}\)
Theo giả thiết, ta có: \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=a^2b^2c^2\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1\)
Áp dụng BĐT AM - GM cho 5 số, ta được: \(\hept{\begin{cases}a.a.a.b.b\le\frac{a^5+a^5+a^5+b^5+b^5}{5}=\frac{3a^5+2b^5}{5}\\b.b.b.a.a\le\frac{b^5+b^5+b^5+a^5+a^5}{5}=\frac{3b^5+2a^5}{5}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{5\left(a^5+b^5\right)}{5}\ge a^2b^2\left(a+b\right)\)hay \(a^5+b^5\ge a^2b^2\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^5+b^5}}\le\frac{1}{ab\sqrt{a+b}}\)(1) .
Tương tự, ta có: \(\frac{1}{\sqrt{b^5+c^5}}\le\frac{1}{bc\sqrt{b+c}}\)(2); \(\frac{1}{\sqrt{c^5+a^5}}\le\frac{1}{ca\sqrt{c+a}}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(VT=\Sigma_{cyc}\frac{1}{\sqrt{a^5+b^5}}\le\Sigma_{cyc}\frac{1}{ab\sqrt{a+b}}\)()
Xét \(\left(\Sigma_{cyc}\frac{1}{ab\sqrt{a+b}}\right)^2\le\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\left(\Sigma_{cyc}\frac{1}{b^2\left(a+b\right)}\right)\)\(=\Sigma_{cyc}\frac{1}{b^2\left(a+b\right)}\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{1}{ab\sqrt{a+b}}\le\sqrt{\Sigma_{cyc}\frac{1}{b^2\left(a+b\right)}}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\Sigma_{cyc}\frac{1}{\sqrt{a^5+b^5}}\le\sqrt{\Sigma_{cyc}\frac{1}{b^2\left(a+b\right)}}\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)
\(\text{Cho a,b,c >0 thỏa a+b+c=1.Chứng minh:}\)
\(\Sigma_{cyc}\dfrac{a}{1+3bc+4\left(b+c\right)}\ge\dfrac{1}{2}\)
\(VT=\sum\dfrac{a^2}{a+3abc+4\left(ab+ac\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+9abc+8\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^3+\dfrac{8}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Đề bài bị sai con số bên vế phải