Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Gọi M là trung điểm BC, N là trung điểm AC, P là trung điểm AB . kẻ Mx //OA; Ny//OB;Pz//OC. CHứng minh; 3 đường thẳng Mx;Ny;Pz đồng quy
cho tam giác ABC nội tiếp (O) bán kính R(AB<AC) đường tròn tâm I đường kính OA cắt AB, AC lần lượt tại M và N.và M, N lần lượt là trung điểm AB, AC. Kẻ dây cung AE của (I) đường kính OA song song với MN,.Gọi F là giao điểm của MN và HE.chứng minh F là trung điểm NM
Gợi ý
bn vào câu hỏi tương tự kham khảo nhé
hoặc vào học 24
chúc bn học tốt
cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC). Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi S là giao điểm của AI và DE. a) Chứng minh tam giác IAB đồng dạng tam giác EAS.
b)Gọi K là trung điểm AB, O là trung điểm BC. Chứng minh K, S, O thẳng hàng.
c)Gọi giao điểm của KI và AC là M. Đường cao AH của tam giác ABC cắt DE tại N. Chứng minh AM=AN
cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC). Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi S là giao điểm của AI và DE. a) Chứng minh tam giác IAB đồng dạng tam giác EAS. b)Gọi K là trung điểm AB, O là trung điểm BC. Chứng minh K, S, O thẳng hàng. c)Gọi giao điểm của KI và AC là M. Đường cao AH của tam giác ABC cắt DE tại N. Chứng minh AM=AN
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), có đường cao AH, gọi M,N lần lượt là hình chiếu của H trên AB,AC. MN cắt (O) tại D, cắt BC tại K. Gọi I là trung điểm AH, IK cắt AB, AC lần lượt tại E và F.
CM tứ giác BMCN nội tiếp
Tam giác ADH cân
I là trung điểm EF
a: ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao
nên AM*AB=AH^2
ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao
nên AN*AC=AH^2
=>AM*AB=AN*AC
=>AM/AC=AN/AB
=>góc AMN=góc ACB
=>góc NMB+góc NCB=180 độ
=>NMBC nội tiếp
b: kẻ đường kính AL
góc ACL=90 độ
AC*AN=AH^2
ΔAIN đồng dạng với ΔACE
=>AI/AC=AN/AE
=>AI*AE=AH^2
góc ADE=90 độ
=>ΔADE vuông tại D
=>AI*AE=AD^2=AH^2
=>AD=AH
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H, AH cắt EF tại K. Gọi I là trung điểm AH
1) Gọi M là trung điểm BC, kẻ đường kính AP. Chứng minh M là trung điểm của HP.
2) Chứng minh BH/BA + CH/CA = EF/KA.
3) Gọi S là giao điểm của hai đường thắng OI và MK. Chứng minh AS song song với BC.
1: góc ABP=1/2*sđ cung AP=90 độ
=>BP//CH
góc ACP=1/2*sđ cung AP=90 độ
=>CP//BH
mà BP//CH
nên BHCP là hình bình hành
=>BC cắt HP tại trung điểm của mỗi đường
=>M là trung điểm của HP
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. M là 1 điểm trên cung nhỏ AC sao cho cung AM > cung CM. Từ M kẻ ME vuông góc AC, MF vuông góc BC. P là trung điểm của AB, Q là trung điểm EF. a. Chứng minh tứ giác MECF nội tiếp b. C/m: BM.EF = BA.FM c. C/m: PM2 = PQ2 + QM2
a)Có \(\widehat{MEC}=\widehat{MFC}\left(=90^0\right)\)
=>Tứ giác MECF nội tiếp
b)Có \(\widehat{AMB}=\widehat{ACB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)
\(\widehat{ACB}=\widehat{EMF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung trong đt ngoại tiếp tứ giác MECF)
\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{EMF}\)
Tương tự cũng có: \(\widehat{ABM}=\widehat{EFM}=\left(\widehat{ECM}\right)\)
Xét \(\Delta BMA\) và \(\Delta MEF\) có:
\(\widehat{AMB}=\widehat{EMF}\)
\(\widehat{ABM}=\widehat{EFM}\)
nên \(\Delta BMA\sim\Delta FME\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{BM}{FM}=\dfrac{BA}{FE}\) \(\Leftrightarrow BM.EF=AB.FM\)
c) Gọi \(K=FE\cap AB\)
Có \(\widehat{MFK}=\widehat{ABM}\left(=\widehat{ECM}\right)\)
\(\Rightarrow\)Tứ giác BKMF nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{BKM}+\widehat{MFB}=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{BKM}=90^0\)
Có: \(\widehat{PAM}+\widehat{BCM}=180^0\) (vì BAMC nội tiếp do bốn đỉnh cùng thuộc đt tâm O)
\(\widehat{MCB}+\widehat{MEF}=180^0\) (vì EMCF nội tiếp)
\(\Rightarrow\widehat{PAM}=\widehat{MEQ}\) mà \(\dfrac{AP}{EQ}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AB}{\dfrac{1}{2}EF}=\dfrac{AB}{EF}=\dfrac{AM}{EM}\)
=> Tam giác APM và EQM đồng dạng (c.g.c)
\(\Rightarrow\widehat{APM}=\widehat{EQM}\) hay góc KPM= góc KQM
\(\Rightarrow\) Tứ giác KPQM nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{PKM}+\widehat{MQP}=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{MQP}=180^0-90^0=90^0\)
\(\Rightarrow\Delta MQP\) vuông tại Q
=> PM2=MQ2+PQ2
(toi xỉu)
cho tam giác abc nội tiếp đường tròn (o). Gọi M là một điểm trên cung nhỏ AB. Kẻ MD vuông góc AC, ME vuông góc BC. Gọi I và J thứ tự là trung điểm AB và DE. Tính số đo của MJI
Bài 1 :
Từ 1 điểm A ngoài (O:R) sao cho OA > 2R , vẽ 2 tiếp tuyến ( B,C là tiếp điểm ) . Vẽ dây cung CM song song với AB , AM cắt (O) tại N . Gọi I là trung điểm OA . Chứng minh : Tam giác BNI vuông tại N
Bài 2
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O ( AB<AC) . Vẽ 2 đường cao AD và CE của tam giác ABC . Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại M . Từ M kẻ tiếp tuyến thứ hai đến (O) ( N là tiếp điểm ) . Vẽ CK vuông góc với AN tại K . Chứng minh : DK đi qua trung điểm của đoạn thẳng BE
cho đường tròn (O,R) và điểm A sao cho OA= 2R. Từ A, vẽ AB tiếp xúc với (O) với B là tiếp điểm. Kẻ đường kính BC của (O).Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng OB, kẻ MN vuông góc với AC tại N.
a) chứng minh tứ giác ABMN nội tiếp
b) kẻ BH vuông góc với OA tại H. cho R= 3cm. tính số đo góc BOA và độ dài đoạn BH
c) đường thẳng vuông góc với OA tại O cắt tia AB tại E. chứng minh ba điểm E,M,N thẳng hàng
a) Ta có: \(\angle ANM+\angle ABM=90+90=180\Rightarrow\) ABMN nội tiếp
b) Ta có: \(cos\angle BOA=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{R}{2R}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\angle BOA=60\)
Ta có: \(sin\angle BOH=sin60=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\dfrac{BH}{OB}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow BH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}OB=\dfrac{\sqrt{3}}{2}R\)
c) Ta có: \(OB^2=BA.BE\Rightarrow\dfrac{BO}{BE}=\dfrac{BA}{BO}\Rightarrow\dfrac{2BM}{BE}=\dfrac{BA}{\dfrac{BC}{2}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{2BM}{BE}=\dfrac{2BA}{BC}\Rightarrow\dfrac{BM}{BE}=\dfrac{BA}{BC}\)
Xét \(\Delta MBE\) và \(\Delta ABC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{BM}{BE}=\dfrac{BA}{BC}\\\angle MBE=\angle ABC=90\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta MBE\sim\Delta ABC\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle BME=\angle BAC=\angle CMN\) (ABMN nội tiếp)
mà B,M,C thẳng hàng \(\Rightarrow\) E,M,N thẳng hàng