Giả sử 2 số tự nhiên có 3 chữ số là \(\overline{abc}\) và \(\overline{xyz}\) có cùng số dư khi chia cho 11. Chứng minh rằng số \(\overline{abcxyz}\) chia hết cho 11
1 chứng minh rằng\(\overline{ab}+\overline{cd}\) chia hết cho 11 thì\(\overline{abcd}\) chia hết cho 11
2 cho 2 só tự nhiên \(\overline{abc},\overline{deg}\) dều chia 11 dư 5 chứng minh rằng số \(\overline{abcdeg}\) chia hết cho 11
ai nhanh, đúng mk tc
C1 : Dấu hiệu chia hết cho 11 :
1 số chia hết cho 11 và chỉ khi tổng các số hàng chẵn / lẻ chia hết cho 11
Theo giả thiết /ab + /cd + /eg = 10a + b + 10c + d + 10e + g = 11. ( a + c + e ) + ( b +d + g ) - ( a + c + e ) chia hết cho 11
Suy ra : ( b + d + g ) - ( a + c + e ) chia hết cho 11
Suy ra abcdeg chia hết cho 11
C2 : Ta có
abcdeg = ab . 10000 = cd . 100 + eg
= ( 9999ab ) + ( 99cd )+ ( ab + cd + eg )
Vì 9999ab + 99cd chia hết cho 11 và ab + cd + eg chia hết cho 11
Suy ra : abcdeg chia hết cho 11
( cách nào cũng đúng nha )
Giả sử 3 số tự nhiên \(\overline{abc}\), \(\overline{bca}\), \(\overline{cab}\) đều chia hết cho 37. Chứng minh rằng:
a3+b3+c3-3abc cũng chia hết cho 37.
Chứng minh rằng số tự nhiên có 3 chữ số là \(\overline{abc}\) và \(\overline{cab}\)chia hết cho 37 thì số \(\overline{bca}\) cũng chia hết cho 37
Khi tham gia sinh hoạt CLB Toán bạn Việt nhận đc thông báo sau:tài khoàn wifi của CLB có mật khẩu là:math1xyz ,trong đó số tự nhiên xyz là kết quả bài toán sau:
Khi chia số tự nhiên m cho 5 đc số dư là a , m chia chia hết cho 6 đc thương là b.Biết tổng của a và b là 11 và xyz là tổng tất cả các số tự nhiên m thỏa các điều kiện trên.
a)Viết tập hợp A các số tự nhiên a thỏa yêu cầu trên.
b)Mật khẩu đầy đủ của tài khoản CLB Toán là gì?Giải thích.
a = 1 => b = 10 => m = 60
a = 2 => b = 9 => m = 54
a = 3 => b = 8 => m = 48
a = 4 => b = 7 => m = 42
xyz = 60+54+48+42 = 204
Mật khẩu đầy đủ: math1204
a) Cho số A=\(\overline{111.....11}\)( 2012 chữ số 1 ). Hỏi A là hợp số hay số nguyên tố?
b) Chứng tỏ rằng nếu \(\overline{abc}+\overline{def}\)chia hết cho 37 thì \(\overline{abcdef}\)chia hết cho 37.
Tìm số tự nhiên có bốn chữ số \(\overline{abcd}\), biết rằng nó là một số chính phương, số \(\overline{abcd}\) chia hết cho \(9\) và \(d\) là một số nguyên tố.
\(\overline{abcd}⋮9\) (d là số nguyên tố)
\(\Rightarrow d\in\left\{3;5;7\right\}\)
mà \(\overline{abcd}\) là số chính phương
\(\Rightarrow d\in\left\{5\right\}\Rightarrow c\in\left\{2\right\}\)
\(\Rightarrow\overline{ab}\in\left\{12;20;30;56;72\right\}\)
mà \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c+d⋮9\\c+d=2+5=7\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\overline{ab}\in\left\{20;56\right\}\)
\(\Rightarrow\overline{abcd}\in\left\{2025;5625\right\}\)
Số chính phương có bốn chữ số. Số chính phương có bốn chữ số có thể là 1000, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, 2601, 2704, 2809, 2916, 3025, 3136, 3249, 3364, 3481, 3600, 3721, 3844, 3969, 4096, 4225, 4356, 4489, 4624, 4761, 4900, 5041, 5184, 5329, 5476, 5625, 5776, 5929, 6084, 6241, 6400, 6561, 6724, 6889, 7056, 7225, 7396, 7569, 7744, 7921, 8100, 8281, 8464, 8649, 8836, 9025, 9216, 9409, 9604, 9801, 10000.
- Nếu tổng các chữ số là 9, thì số abcd
chia hết cho 9.
- Nếu tổng các chữ số là 18, thì số abcd
chia hết cho 9.
- Nếu tổng các chữ số là 27, thì số abcd
chia hết cho 9.
- Nếu tổng các chữ số là 36, thì số abcd
chia hết cho 9.
- Nếu tổng các chữ số là 45, thì số abcd
chia hết cho 9.
Ví dụ: Giả sử ta tìm số tự nhiên có bốn chữ số abcd
, biết rằng nó là một số chính phương, số abcd
chia hết cho 9 và d là một số nguyên tố.
- Ta tìm số chính phương có bốn chữ số: 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, 2601, 2704, 2809, 2916, 3025, 3136, 3249, 3364, 3481, 3600, 3721, 3844, 3969, 4096, 4225, 4356, 4489, 4624, 4761, 4900, 5041, 5184, 5329, 5476, 5625, 5776, 5929, 6084, 6241, 6400, 6561, 6724, 6889, 7056, 7225, 7396, 7569, 7744, 7921, 8100, 8281, 8464, 8649, 8836, 9025, 9216, 9409, 9604, 9801, 10000.
- Ta kiểm tra số abcd
chia hết cho 9. Ví dụ, nếu ta chọn số 2025, tổng các chữ số là 2 + 0 + 2 + 5 = 9, nên số 2025 chia hết cho 9.
- Ta kiểm tra d có phải là số nguyên tố. Ví dụ, nếu ta chọn số 2025, d = 5 không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào từ 2 đến căn bậc hai của 5, nên d = 5 là số nguyên tố.
- Kết hợp các kết quả từ các bước trên, ta có số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu đề bài là 2025.
A = \(\overline{abcd}\)
+ vì A là một số chính phương nên \(d\) = 0; 1; 4; 5;6; 9
+ Vì \(d\) là số nguyên tố nên \(d\) = 5
+ Vì A là số chính phương mà số chính phương có tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là: 2 ⇒ c =2
+ Vì A ⋮ 9 ⇒ a + b + c + d \(⋮\) 9
⇔ a + b + 2 + 5 ⋮ 9 ⇒ a + b = 2; 11
a + b = 2⇒ (a; b) =(1; 1); (2; 0) ⇒ \(\overline{abcd}\) = 1125; 2025
a + b = 11 ⇒(a;b) =(2;9); (3;8); (4; 7); (5; 6); (6;5); (7;4); (8; 3); (9;2)
⇒ \(\overline{abcd}\) = 2925; 3825; 4725; 5625; 6525; 7425; 8325; 9225
Vì 2025 = 452; 5625 = 752 vậy số thỏa mãn đề bài là: 2025 và 5625
chứng minh rằng a) \(\overline{abcabc}\) chia hết cho 7, 11, 13
b) \(\overline{ab}-\overline{ba}\) chia hết cho 9
c) \(\overline{abc}-\overline{cba}\) chia hết cho 99
a) Ta có: \(\overline{abcabc}=100000a+10000b+1000c+100a+10b+c\) \(=100100a+10010b+1001c\) \(=1001\left(100a+10b+c\right)=7\cdot11\cdot13\left(100a+10b+c\right)⋮7,11,13\)
b) Ta có: \(\overline{ab}-\overline{ba}=10a+b-10b-a=9a-9b\) \(=9\left(a-b\right)⋮9\)
c) Ta có: \(\overline{abc}-\overline{cba}=100a+10b+c-100c-10b-a=99a-99c=99\left(a-c\right)⋮99\)
a) Tìm số tự nhiên có hai chữ số , biết rằng khi đổi 2 chữ số cho nhau rồi viết thêm số 0 vào bên phải số đó ta được số mới gấp 45 lần số ban đầu
b) Tìm số \(\overline{1a7b}\) sao cho a-b =3 và \(\overline{1a7b}\) chia cho 9 dư 5
\(\overline{abc},\overline{def}\) là 2 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Biết \(\overline{abcdef}-\overline{defabc}\) chia hết cho 2010. Tìm giá trị lớn nhất của \(\overline{abc}+\overline{def}\).
Có: \(x+y\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\) (dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y)
Đặt: \(\hept{\begin{cases}abc=x\\def=y\end{cases}}\)Như vậy x+y đạt GTLN khia và chỉ khi x=y do x không ràng buộc khác y
Thật vậy với x=y thì\(abcdef-defabc=0\)chia hết cho 2010
Vì x,y là 2 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau thức không ràng buộc x khác y
Nên: \(x=y=987\)
Max x+y=\(\sqrt{4\cdot987^2}=1974\)
Không viết đúng không
:v
Mình xem đáp án là 1328 với lại mình gõ nhầm;
abc, def là 2 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Biết abcdef - defabc chia hết cho 2010. Tìm giá trị lớn nhất của abc + def .
Đặt: \(\hept{\begin{cases}\overline{abc}=x\\\overline{def}=y\end{cases}}\)
Có: \(\overline{xy}-\overline{yx}=10\left(x-y\right)-\left(x-y\right)=9\left(x-y\right)\)
Vì \(9\left(x-y\right)⋮2010\)
nên: \(\left(x-y\right)⋮670\)
Tức: \(\left(\overline{abc}-\overline{def}\right)⋮670\)
Do đó: \(\overline{abc}-\overline{def}\in BCNN\left(670\right)=\left\{670;1340;...\right\}\)
Vì x,y là số có 3 chữ số nên có: \(\overline{abc}-\overline{def}=670\)
Tức có: \(\overline{abc}>771\&x>y\)
Có: \(100\left(a-d\right)+10\left(b-e\right)-600-70=0\)
\(\Leftrightarrow100\left(a-d-6\right)+10\left(b-e-7\right)=0\)
\(\hept{\begin{cases}a-d=6\\b-e=7\\c=f\end{cases}\left(a>6;b\ge7\right)}\)
Giả sử: a=9 thì d=3 thì tổng a và d lớn nhất nên chọn
Từ đó: b=8 và e=1 thì tổng b và e lớn nhất
Suy ra: c=f=7
Vì thế: \(\hept{\begin{cases}abc=987\\def=317\end{cases}\Rightarrow}abc+def=1304\)
Max là 1304
Làm bừa xem có đúng k nhỉ