\(xy+x+1=3y\Rightarrow x+\dfrac{1}{y}+\dfrac{x}{y}=3\)

Ta có:

\(x^3+1+1\ge3x\)

\(\dfrac{1}{y^3}+1+1\ge\dfrac{3}{y}\)

\(x^3+\dfrac{1}{y^3}+1\ge\dfrac{3x}{y}\)

Cộng vế:

\(2\left(x^3+\dfrac{1}{y^3}\right)+5\ge3\left(x+\dfrac{1}{y}+\dfrac{x}{y}\right)=9\)

\(\Rightarrow x^3+\dfrac{1}{y^3}\ge2\)

\(\Rightarrow x^3y^3+1\ge2y^3\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)

\(a^3+1+1\ge3a\)

\(b^3+1+1\ge3b\)

\(c^3+1+1\ge3c\)

\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge6abc\)

Cộng vế:

\(3\left(a^3+b^3+c^3\right)+6\ge3\left(a+b+c+2abc\right)=15\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Bài 3:

a, (\(x\)+y+z)²

=((\(x\)+y) +z)²

= (\(x\) + y)² + 2(\(x\) + y)z + z²

= \(x^2\) + 2\(xy\) + y² + 2\(xz\) + 2yz + z²

=\(x^2\) + y² + z² + 2\(xy\) + 2\(xz\) + 2yz

b, (\(x-y\))(\(x^2\) + y² + z² - \(xy\) - yz - \(xz\))

= \(x^3\) + \(xy^2\) + \(xz^2\) - \(x^2\)y - \(xyz\) - \(x^2\)z - y³ 

Đến dây ta thấy xuất hiện \(x^3\) - y³ khác với đề bài, em xem lại đề bài nhé

c,

(\(x\) + y + z)³ 

=(\(x\) + y)³ + 3(\(x\) + y)²z + 3(\(x\)+y)z² + z³

= \(x^3\) + 3\(x^2\)y + 3\(xy^{2^{ }}\) + y³ +  3(\(x\)+y)z(\(x\) + y + z) + z³

= \(x^3\) + y³ + z³ + 3\(xy\)(\(x\) + y) + 3(\(x+y\))z(\(x+y+z\))

= \(x^3\) + y³ + z³ + 3(\(x\) + y)( \(xy\) + z\(x\) + yz + z²)

= \(x^3\) + y³ + z³ + 3(\(x\) + y){(\(xy+xz\)) + (yz + z²)}

= \(x^3\) + y³ + z³ + 3(\(x\) + y){ \(x\)( y +z) + z(y+z)}

= \(x^3\) + y³ + z³ + 3(\(x\) + y)(y+z)(\(x+z\)) (đpcm)

lâu rồi ko làm xem đúng ko nhé

x=5

y=5

z=5

x=5, y=15, z=3

x=5, y=15, z=3

\(x^3+y^3+y^3\ge3\sqrt[3]{x^3.y^3.y^3}=3xy^2\)

\(x^3+1+1\ge3x\)

\(2\left(y^3+1+1\right)\ge6y\)

Cộng vế:

\(2\left(x^3+2y^3\right)+6\ge3\left(x+2y+xy^2\right)=12\)

\(\Rightarrow x^3+2y^3\ge3\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)

Biến đổi tương đương nhé bạn.

a: Ta có: \(\left(x+y\right)^2\)

\(=x^2+2xy+y^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2xy}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\forall x,y>0\)