a) Áp dụng định lí Py - ta - go vào tam giác vuông ABC ta có:

BC = \(\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}\)

BC = 5 cm

Từ hệ thức của cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền suy ra:     

HB = \(\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{3^2}{5}=1,8\) cm

Ta có:     HB + HC = BC

              1,8 +  HC = 5

                        HC = 3,2 cm

Theo hệ thức liên quan đến đường cao ta có:

AH² = HB . HC

AH² = 1,8 . 3,2

AH² = 5,76 

⇒ AH = 2,4 cm

a: Xét ΔDCE vuông tại D và ΔDFB vuông tại D có 

\(\widehat{DCE}=\widehat{DFB}\)

Do đó: ΔDCE\(\sim\)ΔDFB

Suy ra: DC/DF=DE/DB

hay \(DC\cdot DB=DF\cdot DE\)

b: \(AH=\sqrt{HB\cdot HC}=6\left(cm\right)\)

Bài 1:

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=5^2-3^2=16\)

hay AC=4cm

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{3^2}{5}=1.8\left(cm\right)\\CH=\dfrac{4^2}{5}=3.2\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

\(\Leftrightarrow AH\cdot5=3\cdot4=12\)

hay AH=2,4cm

Bài 2: 

Ta có: BC=HB+HC

nên BC=3,6+6,4

hay BC=10cm

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB^2=3.6\cdot10=36\\AC^2=6.4\cdot10=64\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=6\left(cm\right)\\AC=8\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABH vuông tại H, ta được:

\(AB^2=AH^2+HB^2\)

\(\Leftrightarrow AH^2=6^2-3.6^2=23.04\)

hay AH=4,8cm

Áp dụng HTL tam giác: 

\(\left\{{}\begin{matrix}AH^2=BH\cdot HC\\AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}HC=\dfrac{AH^2}{BH}=\dfrac{16}{3}\left(cm\right)\\AB^2=3\left(3+\dfrac{16}{3}\right)=25\left(cm\right)\\AC^2=\dfrac{16}{3}\left(3+\dfrac{16}{3}\right)=\dfrac{400}{9}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}HC=\dfrac{16}{3}\left(cm\right)\\AB=5\left(cm\right)\\AC=\dfrac{20}{3}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\dfrac{25}{3}\left(cm\right)\left(pytago\right)\)

Lời giải:

a.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$AH^2=BH.CH=3.4=12$

$\Rightarrow AH=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ (cm)

$AB^2=BH.BC=BH(BH+CH)=3(3+4)=21$

$\Rightarrow AB=\sqrt{21}$ (cm)

Hình vẽ:

\(a,\)Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có 

\(BC^2=AB^2+AC^2\Rightarrow BC^2=3^2+4^2\Rightarrow BC=\sqrt{9+16}\)

\(\Rightarrow BC=5cm\)

\(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}\Rightarrow BH=\frac{3^2}{5}=\frac{9}{5}cm\)

\(AC^2=CH.BC\Rightarrow CH=\frac{AC^2}{BC}\Rightarrow CH=\frac{4^2}{5}=\frac{16}{5}cm\)

\(AH^2=\frac{9}{5}.\frac{16}{5}\Rightarrow AH^2=\frac{144}{25}\Rightarrow AH=\sqrt{\frac{144}{25}}=\frac{12}{5}cm\)

\(b,\)

\(BC=BH+CH\Rightarrow BC=9+16\Rightarrow BC=25cm\)

\(AB^2=BH.BC\Rightarrow AB^2=9.25\Rightarrow AB=\sqrt{225}=15cm\)

\(AC^2=CH.BC\Rightarrow AC^2=16.25\Rightarrow AC=\sqrt{400}=20cm\)

\(AH^2=BH.CH\Rightarrow AH^2=9.16\Rightarrow AH=\sqrt{144}=12cm\)

Xét tam giác ABH vuông tại H có:

\(AB^2=BH^2+AH^2\left(Pytago\right)\)

\(\Rightarrow BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}\left(cm\right)\)

Áp dụng HTL trong tam giác ABC vg tại A có đg cao AH:

\(AH^2=BH.HC\)

\(\Rightarrow HC=\dfrac{AH^2}{BH}=\dfrac{2^2}{\sqrt{5}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\left(cm\right)\)

Ta có: \(AC^2=HC^2+AH^2\left(Pytago\right)\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=\sqrt[]{2^2+\left(\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\right)^2}=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}\left(cm\right)\)

Ta có: \(BC=HC+BH=\sqrt{5}+\dfrac{4\sqrt{5}}{5}=\dfrac{5+4\sqrt{5}}{5}\left(cm\right)\)

Bài 5: 

a) Xét ΔABC vuông tại A có 

\(AC=AB\cdot\cot\widehat{C}\)

\(=21\cdot\cot40^0\)

\(\simeq25,03\left(cm\right)\)

b) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=21^2+25,03^2=1067,5009\)

hay \(BC\simeq32,67\left(cm\right)\)