Từ B vẽ BH là đường trung trực của DC ( H∈DC )

Ta có góc ADC = góc BHC = 90°

=> ABHD là hình thang cân

=> AD=BH=AB=Dh=4(cm) và DH=HC=4(cm)( do BH là đường trung trực)

<=> ΔBHC là Δ vuông cân góc BCH= góc HBC=40°

Từ đó góc ABH + góc HBC = góc ABC = 90°+45°=135°

Vậy góc A= góc D = 90° (gt), góc ABC =135° và góc BCD=45°

Kẻ đường cao BH

Xét tứ giác ABHD có 

\(\widehat{BAD}=90^0\)

\(\widehat{ADH}=90^0\)

\(\widehat{BHD}=90^0\)

Do đó: ABHD là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABD vuông tại A, ta được:

\(BD^2=AB^2+AD^2\)

\(\Leftrightarrow AB^2+12^2=BD^2\)(1)

Ta có: ABHD là hình chữ nhật(cmt)

nên AD=BH(hai cạnh đối)

mà AD=12cm(gt)

nên BH=12cm

Áp dụng định lí Pytago vào ΔBDC vuông tại B, ta được:

\(DC^2=BD^2+BC^2\)

\(\Leftrightarrow BD^2+BC^2=25^2=625\)(2)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔBDC vuông tại B có BH là đường cao ứng với cạnh huyền DC, ta được:

\(BD\cdot BC=BH\cdot DC\)

\(\Leftrightarrow BD\cdot BC=12\cdot25=300\)

hay \(BC=\dfrac{300}{BD}\)(3)

Thay (3) vào (2), ta được:

\(BD^2+\left(\dfrac{300}{BD}\right)^2=625\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BD^4+90000}{BD^2}=625\)

\(\Leftrightarrow BD^4-625BD^2+90000=0\)

\(\Leftrightarrow BD^4-400BD^2-225BD^2+90000=0\)

\(\Leftrightarrow\left(BD^2-400\right)\left(BD^2-225\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}BD=15\\BD=20\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}AB=9\left(cm\right)\\AB=16\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Diện tích hình thang ABCD là:

\(S_{ABCD}=\dfrac{AB+CD}{2}\cdot AD=\left[{}\begin{matrix}\dfrac{9+25}{2}\cdot12=204\left(cm^2\right)\\\dfrac{9+16}{2}\cdot12=150\left(cm^2\right)\end{matrix}\right.\)

từ B hạ BE\(\perp DC\)

theo bài ra ABCD là hình thang \(=>AB//CD=>AB//DE\)

mà \(\angle\left(A\right)=\angle\left(D\right)=90^o\)=>chứng minh được ABED là hình chữ nhật

\(=>AD=BE=12cm\)

áp dụng hệ thức lượng \(=>BE^2=DE.EC< =>12^2=DE\left(25-DE\right)=>DE=16cm=AB\)

\(=>S\left(ABCD\right)=\dfrac{\left(AB+CD\right)BE}{2}=\dfrac{\left(16+25\right)12}{2}=246cm^2\)

a)S_MNPQ=   (MQ+NP).MN:2= (32+40).17:2= 612 cm²

b)  Kẻ QH vuông góc với NP => HP= 8 cm

Tam giác HQP vuông tại H => QP = \(\sqrt{353}\)

Sin_P=\(\dfrac{17}{\sqrt{353}}\) => Góc P= 64.79887635⁰∼\(65^{^{^0}}\)

a)Ta có:\(S_{MNPQ}=\dfrac{\left(MQ+NP\right).MN}{2}=\dfrac{\left(32+40\right).17}{2}=612\left(cm^2\right)\)

b)Kẻ QH⊥NP

Xét tứ giác MNHQ có \(\widehat{QMN}=\widehat{MNH}=\widehat{NHQ}=90^o\)

 ⇒ MNHQ là hình chữ nhật

⇒ MN=QH=17 cm;MQ=NH=32 cm

Ta có:NH+HP=NP

    ⇒ HP=NP-NH=40-32=8 cm

Áp dụng định lí Py-ta-go vào ΔQHP vuông tại H

 ⇒ \(QP=\sqrt{HP^2+HQ^2}=\sqrt{8^2+17^2}=\sqrt{353}\) (cm)

A, vi hai tam giác MNP&MQP  có chung chiều cao và MN=1/3PQ nên

Suy ra Tam giác MNP=1/3tam giác MQP