c) Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x-2=a\\x+2=b\end{matrix}\right.\)

\(pt\Leftrightarrow ab+4a\cdot\sqrt{\frac{b}{a}}=-3\)

\(\Leftrightarrow ab+\sqrt{\frac{16a^2\cdot b}{a}}+3=0\)

\(\Leftrightarrow ab+\sqrt{16ab}+3=0\)

\(\Leftrightarrow ab+4\sqrt{ab}+3=0\)

\(\Leftrightarrow ab+\sqrt{ab}+3\sqrt{ab}+3=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{ab}\left(\sqrt{ab}+1\right)+3\left(\sqrt{ab}+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{ab}+3\right)\left(\sqrt{ab}+1\right)=0\)

Dễ thấy \(VT>0\forall x\)

Do đó pt vô nghiệm

b)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{7-x}=a\\ \sqrt[3]{x-5}=b\end{matrix}\right.\). PT đã cho trở thành:

\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{a^3-b^3}{2}\)

\(\Leftrightarrow (a-b)\left(\frac{1}{a+b}-\frac{a^2+ab+b^2}{2}\right)=0\)

Nếu \(a-b=0\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow a^3=b^3\Leftrightarrow 7-x=x-5\)

\(\Leftrightarrow x=6\) (thỏa mãn)

Nếu \(\frac{1}{a+b}-\frac{a^2+ab+b^2}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow (a^2+ab+b^2)(a+b)=2=a^3+b^3\)

\(\Leftrightarrow a^2b+ab^2=0\Leftrightarrow ab(a+b)=0\)

Hiển nhiên $a+b\neq 0$ (để biểu thức có nghĩa)

Do đó \(\left[\begin{matrix} a=0\\ b=0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=7\\ x=5\end{matrix}\right.\)

Vậy........

Dạng căn thức thì nên thận trọng khi đặt nhân tử chung hoặc đưa 1 biểu thức ra ngoài căn hay đưa vào trong căn, vì nó liên quan đến dấu.

a/ ĐKXĐ: \(\left[{}\begin{matrix}x\ge1\\x\le-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x+1\right)\left(x+3\right)}+\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=2\left(x+1\right)\)

- Với \(x\le-3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VT\ge0\\VP< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow ptvn\)

- Với \(x\ge1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+1}\left(\sqrt{2\left(x+3\right)}+\sqrt{x-1}-2\sqrt{x+1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\\sqrt{2x+6}+\sqrt{x-1}=2\sqrt{x+1}\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow3x+5+2\sqrt{\left(2x+6\right)\left(x-1\right)}=4x+4\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(2x+6\right)\left(x-1\right)}=x-1\)

\(\Leftrightarrow4\left(2x+6\right)\left(x-1\right)=\left(x-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\4x+24=x-1\left(vn\right)\end{matrix}\right.\)

c/ ĐKXĐ: \(\left[{}\begin{matrix}x>2\\x\le-2\end{matrix}\right.\)

- Với \(x>2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VT>0\\VP< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) vô nghiệm

- Với \(x\le-2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+2\right)-4\left|x-2\right|\sqrt{\frac{x+2}{x-2}}+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+2\right)-4\sqrt{\frac{\left(x-2\right)^2\left(x+2\right)}{x-2}}+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+2\right)-4\sqrt{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+3=0\)

Đặt \(\sqrt{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\sqrt{x^2-4}=a\ge0\)

\(a^2-4a+3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\a=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-4=1\\x^2-4=9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\sqrt{5}\\x=-\sqrt{13}\end{matrix}\right.\)

Bài 1:

\(\left\{\begin{matrix} 2x-5y=11\\ 3x+4y=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6x-15y=33\\ 6x+8y=10\end{matrix}\right.\)

Lấy PT trước trừ PT sau thu được;

$(6x-15y)-(6x+8y)=23$

$\Leftrightarrow -23y=23\Rightarrow y=-1$

$\Rightarrow 2x=11+5y=6$

$\Rightarrow x=3$

Vậy HPT có nghiệm $(x,y)=(3; -1)$

Bài 2:

\(P=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)+2\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}-\frac{3x+9}{x-9}\)

\(=\frac{x-3\sqrt{x}+2x+6\sqrt{x}}{x-9}-\frac{3x+9}{x-9}=\frac{3x+3\sqrt{x}}{x-9}-\frac{3x+9}{x-9}\)

\(=\frac{3\sqrt{x}-9}{x-9}=\frac{3(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}=\frac{3}{\sqrt{x}+3}\)

\(VT-VP=\left[\frac{a}{\sqrt[3]{4\left(b^3+c^3\right)}}-\frac{a}{b+c}\right]+\left[\Sigma_{cyc}\frac{a}{b+c}-\frac{3}{2}\right]\)

\(=\left[\frac{-3a\left(b+c\right)}{\left(b+c\right)\sqrt[3]{4\left(b^3+c^3\right)}\left[\left(b+c\right)^2+\left(b+c\right)\sqrt[3]{4\left(b^3+c^3\right)}+\left(\sqrt[3]{4\left(b^3+c^3\right)}\right)^2\right]}+\frac{1}{2\left(b+a\right)\left(c+a\right)}\right]\left(b-c\right)^2+\frac{\left(a-b\right)^2}{2\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\frac{\left(b-c\right)^2}{2\left(b+a\right)\left(c+a\right)}\)

Em bế tắc rồi:((

Thấy căn bậc 3 hơi ngại.. Em vừa thử dồn biến, căn thức nhìn khúc khiếp lắm, tới khúc cuối ngược dấu, bực kinh.

@Akai Haruma chị làm giúp ạ, em thấy bài này khá chặt, SOS của em ra kết quả rất xấu khiến em bế tắc...

Lời giải:

Xét số hạng tổng quát: \(\frac{2}{(2n+1)^2}\)

Thấy rằng $(2n+1)^2=4n^2+4n+1>4n^2+4n=2n(2n+2)$

$\Rightarrow \frac{2}{(2n+1)^2}< \frac{2}{2n(2n+2)}$

Cho $n=1,2,3...$ ta có:

$\frac{2}{3^2}< \frac{2}{2.4}$

$\frac{2}{5^2}< \frac{2}{4.6}$

....

$\frac{2}{2017^2}< \frac{2}{2016.2018}$

Cộng theo vế:

$\Rightarrow A< \frac{2}{2.4}+\frac{2}{4.6}+...+\frac{2}{2016.2018}$

$\Leftrightarrow A< \frac{4-2}{2.4}+\frac{6-4}{4.6}+....+\frac{2018-2016}{2016.2018}$
$\Leftrightarrow A< \frac{1}{2}-\frac{1}{2018}$

$\Leftrightarrow A< \frac{504}{1009}$

Ta có đpcm.

Lời giải:

Xét số hạng tổng quát: \(\frac{2}{(2n+1)^2}\)

Thấy rằng $(2n+1)^2=4n^2+4n+1>4n^2+4n=2n(2n+2)$

$\Rightarrow \frac{2}{(2n+1)^2}< \frac{2}{2n(2n+2)}$

Cho $n=1,2,3...$ ta có:

$\frac{2}{3^2}< \frac{2}{2.4}$

$\frac{2}{5^2}< \frac{2}{4.6}$

....

$\frac{2}{2017^2}< \frac{2}{2016.2018}$

Cộng theo vế:

$\Rightarrow A< \frac{2}{2.4}+\frac{2}{4.6}+...+\frac{2}{2016.2018}$

$\Leftrightarrow A< \frac{4-2}{2.4}+\frac{6-4}{4.6}+....+\frac{2018-2016}{2016.2018}$
$\Leftrightarrow A< \frac{1}{2}-\frac{1}{2018}$

$\Leftrightarrow A< \frac{504}{1009}$

Ta có đpcm.

\(A=\frac{2}{3^2}+\frac{2}{5^2}+\frac{2}{7^2}+...+\frac{2}{2017^2}< \frac{2}{1\cdot3}+\frac{2}{3\cdot5}+\frac{2}{5\cdot7}+...+\frac{2}{2015\cdot2017}\\ =1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2017}\\ =1-\frac{1}{2017}=\frac{2016}{2017}>\frac{504}{1009}\)

Đề vô lí quá bạn ạ! Bạn xem lại đề giúp mình , có thể mình làm sai!

a/ Giải rồi

b/ ĐKXĐ: \(x\ge-1\)

Đặt \(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=t>0\)

\(\Rightarrow t^2=3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}\) (1)

Pt trở thành:

\(t=t^2-6\Leftrightarrow t^2-t-6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=3\\t=-2\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3\)

\(\Leftrightarrow3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}=9\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{2x^2+5x+3}=5-3x\left(x\le\frac{5}{3}\right)\)

\(\Leftrightarrow4\left(2x^2+5x+3\right)=\left(5-3x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow...\)

c/ Vế phải là \(181-4x\) hay \(18-14x\)?

d/ ĐKXĐ: \(x\ge4\)

Đặt \(\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}=t>0\)

\(\Rightarrow t^2=2x+2\sqrt{x^2-16}\)

Pt trở thành:

\(\frac{t}{2}=\frac{t^2}{2}-6\)

\(\Leftrightarrow t^2-t-12=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=4\\t=-3\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}=4\)

\(\Leftrightarrow2x+2\sqrt{x^2-16}=16\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-16}=8-x\left(x\le8\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-16=64-16x+x^2\)

\(\Rightarrow x=...\)

e/ ĐKXD: \(x>0\)

\(5\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)=2\left(x+\frac{1}{4x}\right)+4\)

Đặt \(\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}=t\ge\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow t^2=x+\frac{1}{4x}+1\)

Pt trở thành:

\(5t=2\left(t^2-1\right)+4\)

\(\Leftrightarrow2t^2-5t+2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\\t=\frac{1}{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}=2\)

\(\Leftrightarrow2x-4\sqrt{x}+1=0\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}=\frac{2\pm\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow x=\frac{3\pm2\sqrt{2}}{2}\)

Tag nhầm người rồi anh ơi !! Em mới lớp 7 không biết mấy cái này

@Hoàng Thảo Linh