\(y=sinx\Rightarrow y'=cosx;y''=-sinx;y'''=-cosx\)

Bằng quy nạp toán học ; ta c/m được : \(y^{\left(n\right)}sinx=sin\left(x+n\dfrac{\pi}{2}\right)\)

y'=\(\dfrac{\left(-cosx\right)'.3.sin^3x-\left(-cosx\right)\left(3.sin^3x\right)'}{\left(3.sin^3x\right)^2}\)

y'=\(\dfrac{3.sinx.sin^3x+9.cosx.sin^2x}{^{ }\left(3.sin^3x\right)^2}\)

y'=\(\dfrac{3.sin^4x+9.cosx.sin^2x}{9.sin^6x}\)

y'=\(\dfrac{3.sin^2x\left(sin^2x+3.cosx\right)}{9.sin^6x}\)

y'=\(\dfrac{sin^2x+3.cosx}{3.sin^4x}\)

4/3cotx =\(\dfrac{-4}{3.sin^2x}\).

bạn cộng 2 vế lại giúp mình nhé

Đáp án A

\(y'=-\left(\dfrac{-sinx.3sin^2x-cosx.3cos^2x}{9sin^4x}\right)-\dfrac{4}{3sin^2x}=\dfrac{3sin^3x+3cos^3x-12sin^2x}{9sin^4x}\)

Ta có:

\(cosx=cos\left(x+2\pi\right)\) với mọi \(x\in\mathbb{R}.\)

\(cotx=cos\left(x+\pi\right)\) với mọi \(x\ne k\pi,k\in\mathbb{Z}.\)

Do đó, hàm số \(y=cosx\) và \(y=cotx\) là các hàm số tuần hoàn.

y=cosx tuần hoàn theo chu kì T=2pi

y=cot x tuần hoàn theo chu kì T=pi

Xét tính chẵn lẻ:

a) TXĐ: D = R \ {π/2 + kπ| k nguyên}

Với mọi x thuộc D ta có (-x) thuộc D và

\(f\left(-x\right)=\frac{3\tan^3\left(-x\right)-5\sin\left(-x\right)}{2+\cos\left(-x\right)}=-\frac{3\tan^3x-5\sin x}{2+\cos x}=-f\left(x\right)\)

Vậy hàm đã cho là hàm lẻ

b) TXĐ: D = R \ \(\left\{\pm\sqrt{2};\pm1\right\}\)

Với mọi x thuộc D ta có (-x) thuộc D và

\(f\left(-x\right)=\frac{\sin\left(-x\right)}{\left(-x\right)^4-3\left(-x\right)^2+2}=-\frac{\sin x}{x^4-3x^2+2}=-f\left(x\right)\)

Vậy hàm đã cho là hàm lẻ

Tìm GTLN, GTNN:

TXĐ: D = R

a)  Ta có (\(\left(\sin x+\cos x\right)^2=1+\sin2x\)

Với mọi x thuộc D ta có\(-1\le\sin2x\le1\Leftrightarrow0\le1+\sin2x\le2\Leftrightarrow0\le\left(\sin x+\cos x\right)^2\le2\)

\(\Leftrightarrow0\le\left|\sin x+\cos x\right|\le\sqrt{2}\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le\sin x+\cos x\le\sqrt{2}\)

Vậy  \(Min_{f\left(x\right)}=-\sqrt{2}\) khi \(\sin2x=-1\Leftrightarrow2x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\)

\(Max_{f\left(x\right)}=\sqrt{2}\) khi\(\sin2x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi\)

b) Với mọi x thuộc D ta có: 

\(-1\le\cos x\le1\Leftrightarrow-2\le2\cos x\le2\Leftrightarrow1\le2\cos x+3\le5\)

\(\Leftrightarrow1\le\sqrt{2\cos x+3}\le\sqrt{5}\Leftrightarrow5\le\sqrt{2\cos x+3}+4\le\sqrt{5}+4\)

Vậy\(Min_{f\left(x\right)}=5\)  khi \(\cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi+k2\pi\)

\(Max_{f\left(x\right)}=\sqrt{5}+4\)  khi \(\cos x=1\Leftrightarrow x=k2\pi\)

c) \(y=\sin^4x+\cos^4x=\left(\sin^2x+\cos^2x\right)^2-2\sin^2x\cos^2x\)\(=1-\frac{1}{2}\left(2\sin x\cos x\right)^2=1-\frac{1}{2}\sin^22x\)

Với mọi x thuộc D ta có: \(0\le\sin^22x\le1\Leftrightarrow-\frac{1}{2}\le-\frac{1}{2}\sin^22x\le0\Leftrightarrow\frac{1}{2}\le1-\frac{1}{2}\sin^22x\le1\)

Đến đây bạn tự xét dấu '=' xảy ra khi nào nha :p

\(y'=\left[sin\left(\dfrac{\pi}{3}-3x\right)\right]'\\ =\left(\dfrac{\pi}{3}-3x\right)'cos\left(\dfrac{\pi}{3}-3x\right)\\ =-3cos\left(\dfrac{\pi}{3}-3x\right)\)