Cho tam giác ABC có góc A=600.Các điểm O,I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp,nội tiếp tam giác.Chứng minh rằng bốn điểm B,O,I,C cùng thuộc một đường tròn.
Cho tam giác ABC có A bằng 60 độ .Các điểm O,I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và nội tiếp tam giác.Chứng mình B,O,I,C cùng thuộc một đường tròn
Vì \(\widehat{BAC}=60^o\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=120^o\)
Mà BI,CI là tia phân giác góc \(\widehat{ABC},\widehat{ACB}\)
\(\Rightarrow\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=60^o\Rightarrow\widehat{BIC}=180^o-60^o=120^o\)
\(\widehat{BAC}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BC}=60^o\Rightarrow sđ\widebat{BC}=120^o\)
Mà \(\widehat{BOC}=sđ\widebat{BC}=120^o\)
\(\Rightarrow\widehat{BIC}=\widehat{BOC}=120^o\)
Suy ra tứ giác BIOC nội tiếp hay B,O,I,C cùng thuộc 1 đường tròn
Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC với A ^ = 60 0 . Gọi H là trực tâm của ∆ABC. Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn
Chứng minh được B I C ^ = 120 0
=> B O C ^ = 2 B A C ^ = 120 0 => B H C ^ = 180 0 - 60 0 = 120 0 (góc nội tiếp và góc ở tâm)
=> H, I, O cùng nhìn BC dưới góc 120 0 nên B, C, O, I, H cùng thuộc một đường tròn
Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A = 60 o . Gọi H là giao điểm của các đường cao BB'và CC'.
Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.
(hai góc đối đỉnh)
⇒ B, O, I, H, C cùng thuộc đường tròn chứa cung 120º dựng trên đoạn BC.
Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A = 60 ° . Gọi H là giao điểm của các đường cao BB'và CC'.
Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.
⇒ B, O, I, H, C cùng thuộc đường tròn chứa cung 120º dựng trên đoạn BC.
Kiến thức áp dụng
+ Các điểm cùng nhìn một đoạn thẳng cố định dưới cùng một góc α thì đều thuộc cùng một đường tròn.
ho tam giác abc nội tiếp đường tròn (o,r) goi I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác đó gọi M N P lần lượt là tâm của các đường tròn bàng tiếp trong các góc A, B, C. gọi K là điểm đối xứng của I qua O. Chứng minh rằng K laftaam đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP
cách làm thôi nha
GỌi D là gia điểm của AM zới đường tròn (O)
CM các tam giác DBI . DBM cân
=> DI=DM
DO đó OD là đường trung bình của tam giác MIK
=> KM=2OD=2R
Zậy M thuộc đường tròn (K;2R)
tương tự đối zới các điểm N , P
Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với \(\widehat{A}=60^o.\) Gọi H là giao điểm của các đường cao BB' và CC'. Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.
Ta có: = 2 = 2.60o = 120o (1)
(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung)
và = (đối đỉnh)
mà = 180o - = 180o - 60o = 120o
nên = 120o (2)
= +
= 60o + = 60o+ 60o
(sử dụng góc ngoài của tam giác)
Do đó = 120o
Từ (1), (2), (3) ta thấy các điểm O, H, I cùng nằm trên các cung chứa góc 120o dựng trên đoạn thẳng BC. Nói cách khác, năm điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn
Ta có: \(\widehat{BOC}\) = 2\(\widehat{BAC}\) = 2.60o = 120o (1)
(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung)
và \(\widehat{BHC}\) = \(\widehat{B'HC'}\) (đối đỉnh)
mà \(\widehat{B'HC'}\) = 180o - \(\widehat{A}\) = 180o - 60o = 120o
nên \(\widehat{BHC}\) = 120o (2)
\(\widehat{BIC}\) = \(\widehat{A}\) + \(\dfrac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}\)
= 60o + \(\dfrac{180^0-60^0}{2}\) = 60o+ 60o
(sử dụng góc ngoài của tam giác)
Do đó \(\widehat{BIC}\) = 120o
Từ (1), (2), (3) ta thấy các điểm O, H, I cùng nằm trên các cung chứa góc 120o dựng trên đoạn thẳng BC. Nói cách khác, năm điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn
Cho tam giác ABC có đường cao AH, biết góc BCA < góc ABC < góc CAB < 900. Gọi đường tròn (O) tâm O là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Gọi D là giao điểm của tia AI với đường tròn (O), biết D khác A. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của đường thẳng AH với hai đường thẳng BD và CI, biết E nằm giữa hai điểm B và D.
1) Chứng minh BH = AB.cos góc ABC. Suy ra BC = AB.cos góc ABC + AC.cos góc BCA.
2) Chứng minh bốn điểm B, E, I, F cùng thuộc một đường tròn.
3) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao BE; CF cắt nhau tại H
a) Chứng minh bốn điểm B;F;E;C cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp
b)Vẽ đường kính AK của đường tròn (O).Chứng minh BHCK là hình bình hành suy ra H,I,K thẳng hàng
a) Xét tứ giác BFEC có
\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}\left(=90^0\right)\)
nên BFEC là tứ giác nội tiếp
hay B,F,E,C cùng thuộc một đường tròn
Tâm I là trung điểm của BC
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). P di chuyển trên cung B C ⏜ chứa A của (O).
I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Q là tâm đường tròn nội tiếp tam giác PBC.
1). Chứng minh rằng B, I, Q, C cùng nằm trên một đường tròn.
2) Trên tia BQ, CQ lần lượt lấy các điểm M, N sao cho B M = B I , C N = C I . Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định.
1) Ta có
B I C ^ = 180 0 − I B C ^ − I C B ^ = 180 0 − A B C ^ 2 − A C B ^ 2 = 180 0 − 180 ∘ − B A C ^ 2 = 90 0 + B A C ^ 2 ⇔ B A C ^ = 2 B I C ^ − 180 °
Tương tự B Q C ^ = 90 0 + B P C ^ 2 ⇔ B P C ^ = 2 B Q C ^ − 180 ° .
Tứ giác BPAC nội tiếp, suy ra B A C ^ = B P C ^ ⇒ B Q C ^ = B I C ^ , nên 4 điểm B, I, Q, C thuộc một đường tròn.
2) Gọi đường tròn (B; BI) giao (C; CI) tại K khác I thì K cố định.
Góc I B M ^ là góc ở tâm chắn cung I M ⏜ và I K M ^ là góc nội tiếp chắn cung I M ⏜ , suy ra I K M ^ = 1 2 I B M ^ (1).
Tương tự I K N ^ = 1 2 I C N ^ (2).
Theo câu 1) B, I, Q, C thuộc một đường tròn, suy ra I B M ^ = I B Q ^ = I C Q ^ = I C N ^ (3).
Từ (1), (2) và (3), suy ra I K M ^ = I K N ^ ⇒ K M ≡ K N .
Vậy MN đi qua K cố định.