\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABP}=\widehat{MBC}\left(=\widehat{ABC}+90^0\right)\\BA=BM\\BP=BC\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta BAP=\Delta BMC\left(c.g.c\right)\\ \Rightarrow AP=CM;\widehat{BAP}=\widehat{BMC}\)

Gọi \(\left\{O\right\}=AP\cap CM\)

\(\widehat{AIO}=\widehat{BIM}\left(đđ\right)\\ \Rightarrow\widehat{AOI}=180^0-\left(\widehat{BAP}+\widehat{AIO}\right)=180^0-\left(\widehat{BMC}+\widehat{BIM}\right)=90^0\)

Lại có HD,DE,EG lần lượt là đtb \(\Delta ACD,\Delta ACM,\Delta APM\)

Do đó \(\left\{{}\begin{matrix}HD\text{//}AP;HD=\dfrac{1}{2}AP\left(1\right)\\DE\text{//}CM;DE=\dfrac{1}{2}CM\left(2\right)\\EG\text{//}AP;EG=\dfrac{1}{2}AP\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\left(3\right)\Rightarrow HD\text{//}EG;HD=EG\\ \Rightarrow DEGH\text{ là hbh}\\ \text{Mà }AP=CM\Rightarrow HD=HE\\ \Rightarrow DEGH\text{ là hình thoi}\)

Mặt khác: \(DE\text{//}CM;AP\bot CM\Rightarrow AP\bot DE\)

Mà \(HD\text{//}AP\Rightarrow DE\text{//}HD\)

Vậy DEGH là hình vuông

Gọi giao điểm của hai đường chéo là O giao điểm của hai cạnh bên là S,giao điểm của SO với AB,CD lần lượt là X,Y.
Ta có AX//YC nên theo định lý Ta lét ta có:
\(\frac{AX}{YC}\)=\(\frac{AO}{OC}\)=\(\frac{AB}{DC}\)=\(\frac{AX}{DY}\)
=>YC=DY
Vậy Y là trung điểm của DC.
Ta có AB//DC theo định lý Ta-lét ta có:
\(\frac{AX}{DY}\)=\(\frac{SX}{XY}\)=\(\frac{XB}{YC}\)
mà DY=YC(c/m trên)
=>AX=XB=>X là trung điểm của AB
Vậy giao điểm của SO với AB,CD tại trung điểm của các cạnh đó
=>đpcm
Ta cũng dễ dàng chứng mình được đường thẳng chứa 4 điểm đó là trùng trực của hai cạnh đấy sao khi chừng minh chúng thẳng hàng ở trên nhé!

Gọi giao điểm của hai đường chéo là O giao điểm của hai cạnh bên là S,giao điểm của SO với AB,CD lần lượt là X,Y.
Ta có AX//YC nên theo định lý Ta lét ta có:
AXYCAXYC=AOOCAOOC=ABDCABDC=AXDYAXDY
=>YC=DY
Vậy Y là trung điểm của DC.
Ta có AB//DC theo định lý Ta-lét ta có:
AXDYAXDY=SXXYSXXY=XBYCXBYC
mà DY=YC(c/m trên)
=>AX=XB=>X là trung điểm của AB
Vậy giao điểm của SO với AB,CD tại trung điểm của các cạnh đó
=>đpcm
 

Gọi giao điểm của hai đường chéo là O giao điểm của hai cạnh bên là S,giao điểm của SO với AB,CD lần lượt là X,Y.Ta có AX//YC nên theo định lý Ta lét ta có:AXYC =AOOC =ABDC =AXDY =>YC=DYVậy Y là trung điểm của DC.Ta có AB//DC theo định lý Ta-lét ta có:AXDY =SXXY =

1) Ta có: ^BAC+^BAD=^BAC+^CAE=^BAC=90⁰ => ^DAC=^BAE

Xét \(\Delta\)DAC & \(\Delta\)BAE: AD=AB; ^DAC=^BAE; AC=AE => \(\Delta\)DAC=\(\Delta\)BAE (c.g.c)

=> CD=BE (2 cạnh tương ứng)

Gọi CD giao BE tại P, AB giao CD tại Q

Do \(\Delta\)DAC=\(\Delta\)BAE (cmt) => ^D₁=^B₁ (2 góc tương ứng)

Xét 2 tam giác: \(\Delta\)DAQ và \(\Delta\)BPQ: ^DQA=^BQP (đối đỉnh), ^D₁=^B₁

=> ^DAQ=^BPQ => ^BPQ=90⁰ hay CD vuông góc với BE.

2) Trên tia đối của AM lấy điểm F sao cho AF=2AM.

Chứng minh được: \(\Delta\)ABM=\(\Delta\)FCM (c.g.c) => AB=FC. Mà AB=AD => FC=AD

=> ^ABM=^FCM (2 góc tương ứng). Mà 2 góc này so le trong => AB//FC

=> ^BAC+^ACF=180⁰. (1)

Lại có: ^BAC+^BAD+^CAE+^EAD=360⁰ => ^EAD+^BAC=360⁰-^BAD-^CAE=180⁰ (2)

Từ (1) và (2) => ^ACF=^EAD.

Xét \(\Delta\)ACF & \(\Delta\)EAD: AC=EA; ^ACF=^EAD; CF=AD => \(\Delta\)ACF=\(\Delta\)EAD (c.g.c)

=> AF=DE (2 cạnh tương ứng). Thấy AF=2AM => DE=2AM.

3) Gọi AM cắt DE tại K

Ta có: \(\Delta\)ACF=\(\Delta\)EAD (cmt) => ^A₁=^E₁.

Mà ^A₁+^EAK=90⁰ => ^E₁+^EAK=90⁰ => \(\Delta\)EKA vuông tại K hay AM vuông góc với DE.

4) Có: ^ACH+^HAC=90⁰. Mà ^OAE+^HAC=90⁰ => ^ACH=^OAE hay ^ACM=^OAE.

Xét \(\Delta\)AMC & \(\Delta\)EOA có: AC=AE, ^A₁=^E₁; ^ACM=^OAE => \(\Delta\)AMC=\(\Delta\)EOA (g.c.g)

=> AM=EO (2 cạnh tương ứng).

Lại có: DE=2AM (cmt) => DE=2EO (O\(\in\)DE) hay  là trung điểm của DE (đpcm).

Cảm ơn nhé!

1) Ta có: ^BAC+^BAD=^BAC+^CAE=^BAC=900 => ^DAC=^BAE

Xét \DeltaΔDAC & \DeltaΔBAE: AD=AB; ^DAC=^BAE; AC=AE => \DeltaΔDAC=\DeltaΔBAE (c.g.c)

=> CD=BE (2 cạnh tương ứng)

Gọi CD giao BE tại P, AB giao CD tại Q

Do \DeltaΔDAC=\DeltaΔBAE (cmt) => ^D1=^B1 (2 góc tương ứng)

Xét 2 tam giác: \DeltaΔDAQ và \DeltaΔBPQ: ^DQA=^BQP (đối đỉnh), ^D1=^B1

=> ^DAQ=^BPQ => ^BPQ=900 hay CD vuông góc với BE.

2) Trên tia đối của AM lấy điểm F sao cho AF=2AM.

Chứng minh được: \DeltaΔABM=\DeltaΔFCM (c.g.c) => AB=FC. Mà AB=AD => FC=AD

=> ^ABM=^FCM (2 góc tương ứng). Mà 2 góc này so le trong => AB//FC

=> ^BAC+^ACF=1800. (1)

Lại có: ^BAC+^BAD+^CAE+^EAD=3600 => ^EAD+^BAC=3600-^BAD-^CAE=1800 (2)

Từ (1) và (2) => ^ACF=^EAD.

Xét ΔACF & ΔEAD: AC=EA; ^ACF=^EAD; CF=AD => ΔACF=ΔEAD (c.g.c)

=> AF=DE (2 cạnh tương ứng). Thấy AF=2AM => DE=2AM.

3) Gọi AM cắt DE tại K

Ta có: \DeltaΔACF=\DeltaΔEAD (cmt) => ^A1=^E1.

Mà ^A1+^EAK=900 => ^E1+^EAK=900 => \DeltaΔEKA vuông tại K hay AM vuông góc với DE.

4) Có: ^ACH+^HAC=900. Mà ^OAE+^HAC=900 => ^ACH=^OAE hay ^ACM=^OAE.

Xét \DeltaΔAMC & \DeltaΔEOA có: AC=AE, ^A1=^E1; ^ACM=^OAE => \DeltaΔAMC=\DeltaΔEOA (g.c.g)

=> AM=EO (2 cạnh tương ứng).

Lại có: DE=2AM (cmt) => DE=2EO (O\in∈DE) hay  là trung điểm của DE (đpcm).

a: Xét ΔBEM vuông tại M có \(\widehat{B}=45^0\)

nên ΔBEM vuông cân tại M

b: ME\(\perp\)BC

NF\(\perp\)BC

Do đó: ME//NF

Xét ΔCNF vuông tại N có \(\widehat{NCF}=45^0\)

nên ΔCNF vuông cân tại N

=>CN=NF

CN=NF

BM=ME

CN=NM=MB

Do đó: CN=NF=BM=ME=NM

Xét tứ giác NMEF có

NF//ME

NF=ME

Do đó: NMEF là hình bình hành

Hình bình hành NMEF có NM=NF

nên NMEF là hình thoi

Hình thoi NMEF có \(\widehat{FNM}=90^0\)

nên NMEF là hình vuông