Ta có: \(12=a+b+2ab\ge2ab+2\sqrt{ab}\Rightarrow0< ab\le4\)

Chú ý: \(2ab=12-a-b\) . Do đó:

\(A=\frac{2a^2+2ab}{2a+4b}+\frac{2b^2+2ab}{4a+2b}\)

\(=\frac{2\left(a^2+4\right)+4-a-b}{2a+4b}+\frac{2\left(b^2+4\right)+4-a-b}{4a+2b}\)

\(\ge\frac{7a-b+4}{2a+4b}+\frac{7b-a+4}{4a+2b}=\frac{7\left(a-b\right)^2+108\left(4-ab\right)}{6\left(2a+b\right)\left(a+2b\right)}+\frac{8}{3}\ge\frac{8}{3}\)

P/s: Em chưa check lại đâu, anh tự check đi:D Và chú ý cái dấu "=" cuối cùng của em chỉ đúng khi a + b +2ab = 12.

Cách khác:

Dễ thấy \(0< ab\le4\) (như bài trên)

\(A-\frac{8}{3}=\frac{2\left(a-2\right)^2}{2a+4b}+\frac{2\left(b-2\right)^2}{4a+2b}+\frac{7\left(a-b\right)^2+108\left(4-ab\right)}{6\left(2a+b\right)\left(a+2b\right)}\ge0\)

P/s: Nếu bài trên đúng thì bài này đúng, bài trên sai thì bài này sai, vì bài này được suy ra từ bài trên:v

Lời giải:

$A=\frac{a(a+2b)-ab}{a+2b}+\frac{b(2a+b)-ab}{2a+b}$

$=a+b-\left(\frac{ab}{a+2b}+\frac{ab}{2a+b}\right)$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\frac{ab}{a+2b}+\frac{ab}{2a+b}\leq \frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)+\frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{a+b}{3}$

$\Rightarrow A\geq \frac{2}{3}(a+b)$

Mà:

$12=a+b+2ab\leq a+b+\frac{(a+b)^2}{2}$ (theo BĐT AM-GM)
$\Leftrightarrow (a+b)^2+2(a+b)-24\geq 0$

$\Leftrightarrow (a+b+6)(a+b-4)\geq 0$

$\Rightarrow a+b\geq 4$

Do đó: $A\geq \frac{2}{3}(a+b)\geq \frac{8}{3}$

Vậy $A_{\min}=\frac{8}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=2$

Mẫu thức như vầy thì tìm max còn được chứ tìm min sao nổi bạn?

\(15\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+30\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=40\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+2007\)

\(\Leftrightarrow15\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=40\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+2007\)

\(\Leftrightarrow15\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\le\frac{40}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2+2007\)

\(\Leftrightarrow\frac{5}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\le2007\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\sqrt{\frac{6021}{5}}\)

Ta có:

\(5a^2+2ab+2b^2=4a^2+2ab+b^2+a^2+b^2\ge4a^2+2ab+b^2+2ab=\left(2a+b\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}\ge2a+b\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{2a+b}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}=\frac{1}{a+a+b}+\frac{1}{b+b+c}+\frac{1}{c+c+a}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{3}\sqrt{\frac{6021}{5}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\sqrt{\frac{5}{6021}}\)

4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)

\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)

\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)

Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)

Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)

@Cool Kid:

Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)

Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)

í lộn, bài 4:v Bài 3 thấy quen quen, đợi chút em lục lại@Hoàng Quốc Tuấn 

\(a\ge2b\Rightarrow\dfrac{a}{b}\ge2\)

\(P=2\left(\dfrac{a}{b}\right)+\left(\dfrac{b}{a}\right)-2=\dfrac{a}{4b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{7}{4}\left(\dfrac{a}{b}\right)-2\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{4ab}}+\dfrac{7}{4}.2-2=\dfrac{5}{2}\)

\(P_{min}=\dfrac{5}{2}\) khi \(a=2b\)