Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
asssssssaasawdd

Cho a, b là các số dương thỏa mãn a + b + 2ab = 12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(A=\frac{a^2+ab}{a+2b}+\frac{b^2+ab}{2a+b}\)

Akai Haruma
30 tháng 8 2020 lúc 10:41

Lời giải:

$A=\frac{a(a+2b)-ab}{a+2b}+\frac{b(2a+b)-ab}{2a+b}$

$=a+b-\left(\frac{ab}{a+2b}+\frac{ab}{2a+b}\right)$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\frac{ab}{a+2b}+\frac{ab}{2a+b}\leq \frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)+\frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{a+b}{3}$

$\Rightarrow A\geq \frac{2}{3}(a+b)$

Mà:

$12=a+b+2ab\leq a+b+\frac{(a+b)^2}{2}$ (theo BĐT AM-GM)
$\Leftrightarrow (a+b)^2+2(a+b)-24\geq 0$

$\Leftrightarrow (a+b+6)(a+b-4)\geq 0$

$\Rightarrow a+b\geq 4$

Do đó: $A\geq \frac{2}{3}(a+b)\geq \frac{8}{3}$

Vậy $A_{\min}=\frac{8}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=2$


Các câu hỏi tương tự
Big City Boy
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
Phạm Phương Anh
Xem chi tiết
Lê Minh Triết
Xem chi tiết
Trần Thiện
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết
Rose Princess
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết