a,Xét tam giác ABI và tam giác KCI có

góc AIB = góc KIC (đối đỉnh)

góc BAI = góc IKC ( = 90 độ )

=> ABI ~ KCI

b,Từ hai tam giác trên động dạng với nhau,ta suy ra : góc ABI = góc ICK  (1)

Mặ khác,BI là phân giác góc ABC nên ABI = góc IBC   (2)

Từ (1) và (2) => Góc IBC = góc ICK

c,AB = 3,AB=4 => BC=5(định lý Pytago)

AB:BC=AI:IC(tính chất đường phân giác)

=>AB:(AB+BC) = AI:(AI+IC)=AI:AC

=> 3:8 =AI: 4 => AI = 1,5

IC=AC-AI   => IC = 4 - 1,5= 2,5.

a: Sửa đề: AC=8cm

BC=căn 6^2+8^2=10cm

Xét ΔBAC có BI là phân giác

nên AI/BA=CI/BC

=>AI/3=CI/5=(AI+CI)/(3+5)=8/8=1

=>AI=3cm; CI=5cm

b: Xét ΔABI vuông tại A và ΔHCI vuông tại H có

góc AIB=góc HIC

=>ΔABI đồng dạng với ΔHCI

=>AB/HC=BI/CI

=>AB*CI=BI*HC

a) Xét ΔABI và ΔHCI

∠A=∠H=90⁰

∠BIA=∠HIC(đối đỉnh)

⇒ΔABI \(\sim\)ΔHCI(g-g)

b)ta có :ΔABI \(\sim\)ΔHCI(cmt)

⇒∠ABI = ∠ICH(2 góc tương ứng )

Mà ∠ABI = ∠IBC(BI là tia phân giác ∠B)

⇒∠IBC = ∠ICH

c)Xét ΔABC vuông tại A

Nên theo định lí Pi-ta-go ta có :

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(BC^2=6^2+8^2\)

\(BC^2=36+64\)

\(BC^2=100\)

\(BC=\sqrt{100}=10\)

Ta có :BI là tia phân giác ∠B

Nên theo tính chất tia phân giác

\(\frac{IA}{AB}=\frac{CI}{AC}\)

theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau

\(\frac{AI}{AB}=\frac{IC}{BC}=\frac{AI+IC}{AB+BC}=\frac{AC}{6+10}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}\)

*\(\frac{AI}{AB}=\frac{1}{2}\Rightarrow AI=AB\cdot\frac{1}{2}=6\cdot\frac{1}{2}=3\)

*\(\frac{IC}{BC}=\frac{1}{2}\Rightarrow IC=BC\cdot\frac{1}{2}=10\cdot\frac{1}{2}=5\)

A)XÉT TAM GIÁC ABI VÀ TAM GIÁC HCI CÓ ;

GÓC A =GÓC CHI (=90 ĐỘ )

GÓC AIB=GÓC HIC (ĐỐI ĐỈNH )

=>TAM GIÁC ABI ĐỒNG DẠNG VỚI TAM HCI (G.G)

B)VÌ TAM GIÁC ABI ĐỒNG DẠNG VỚI TAM GIÁC HCI (THEO CÂU A)

=>GÓC ABI=GÓC HCI (1)

MÀ GÓC ABI BẰNG GÓC CBI(VÌ BI LÀ TIA PHÂN GIÁC ) (2)

TỪ (1) VÀ (2) =>GÓC HCI BĂNG GÓC CBI (DPCM)

b) Xét \(\Delta\)ABI vuông tại A và \(\Delta\)HCI vuông tại H có 

\(\widehat{AIB}=\widehat{HIC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: \(\Delta\)ABI\(\sim\)\(\Delta\)HCI(g-g)

\(\text{#TNam}\)

`a,`

Xét Tam giác `ABI` và Tam giác `MBI` có:

`\text {BI chung}`

\(\widehat{ABI}=\widehat{MBI} (\text {tia phân giác}\) \(\widehat{ABM} )\)

\(\widehat{BAI}=\widehat{BMI}=90^0\)

`=> \text {Tam giác ABI = Tam giác MBI (ch-gn)}`

`=> BA = BM (\text {2 cạnh tương ứng})`

Gọi `H` là giao điểm của `BI` với `AM`

Xét Tam giác `HAB` và Tam giác `HMB` có:

\(\text{BA = BM (CMT)}\)

\(\widehat{ABH}=\widehat{MBH} (\text {tia phân giác} \widehat{ABM})\)

`\text {BH chung}`

`=> \text {Tam giác HAB = Tam giác HMB (c-g-c)}`

`-> \text {HA = HM (2 cạnh tương ứng)}`

`->`\(\widehat{BHA}=\widehat{BHM} (\text {2 góc tương ứng})\)

Mà `2` góc này nằm ở vị trí kề bù

`->`\(\widehat{BHA}+\widehat{BHM}=180^0\)

`->`\(\widehat{BHA}=\widehat{BHM}=\)`180/2=90^0`

`-> \text {BH} \bot \text {AM}`

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}BH\perp AM\\HA=HM\end{matrix}\right.\)

`->` \(\text{BI là đường trung trực của AM.}\)

`b,`

Xét Tam giác `BAC` và Tam giác `BMN` có:

\(\widehat{B} \) `\text {chung}`

`BA = BM (a)`

\(\widehat{BAC}=\widehat{BMN}=90^0\)

`=> \text {Tam giác BAC = Tam giác BMN (g-c-g)}`

`-> \text {BN = BC (2 cạnh tương ứng)}`

Xét Tam giác `BIN` và Tam giác `BIC` có:

`BN = BC (CMT)`

\(\widehat{NBI}=\widehat{CBI} (\text {tia phân giác} \widehat{NBC})\)

`\text {BI chung}`

`=> \text {Tam giác BIN = Tam giác BIC (c-g-c)}`

`-> \text {IN = IC (2 cạnh tương ứng)}`
`c,`

Gọi `K` là giao điểm của `BI` và `NC`

Xét Tam giác `NBK` và Tam giác `CBK` có:

`BN = BC (CMT)`

\(\widehat{NBK}=\widehat{CBK} (\text {tia phân giác} \widehat{NBC})\)

`\text {BK chung}`

`=> \text {Tam giác NBK = Tam giác CBK (c-g-c)}`

`->`\(\widehat{BKN}=\widehat{BKC} (\text {2 góc tương ứng})\)

Mà `2` góc này nằm ở vị trí kề bù

`->`\(\widehat{BKN}+\widehat{BKC}=180^0\)

`->`\(\widehat{BKN}=\widehat{BKC}=\)`180/2=90^0`

`-> \text {BK} \bot \text {NC}`

`-> \text {BI} \bot \text {NC (đpcm)}`