bài lớp mấy mà khó dữ

Ta có : \(xy+yz+zx=1\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}1+x^2=xy+yz+zx+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\\1+y^2=xy+yz+zx+y^2=\left(y+x\right)\left(y+z\right)\\1+z^2=xy+yz+zx+z^2=\left(z+x\right)\left(z+y\right)\end{cases}}\)

Do đó :

\(\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}=\sqrt{\frac{\left(y+x\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=\sqrt{\left(y+z\right)^2}\)\(=y+z\)

\(x\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}=x\left(y+z\right)\)

Hoàn toàn tương tự :

\(y\sqrt{\frac{\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)}{1+y^2}}=y\left(z+x\right)\)

\(z\sqrt{\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{1+z^2}}=z\left(x+y\right)\)

Do đó :

\(A=x\left(y+z\right)+y\left(z+x\right)+z\left(x+y\right)\)

\(=2\left(xy+yz+zx\right)=2\)

Từ xy+yz+zx=1 (giả thiết) 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}1+x^2=xy+yz+zx+x^2\\1+y^2=xy+yz+zx+y^2\\1+z^2=xy+yz+zx+z^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}1+x^2=y\left(x+z\right)+x\left(x+z\right)\\1+y^2=z\left(x+y\right)+y\left(x+y\right)\\1+z^2=y\left(x+z\right)+z\left(x+z\right)\end{cases}}.\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}1+x^2=\left(x+z\right)\left(x+y\right)\\1+y^2=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\\1+z^2=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\end{cases},}\)Khi đó thế vào biểu thức A đã cho ta có:

\(A=x\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}+y\sqrt{\frac{\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\)

    \(+z\sqrt{\frac{\left(x+z\right)\left(x+y\right)\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\)

\(=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)

\(=x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)\)(vì x,y,z là các số dương)

\(=2\left(xy+yz+xz\right)=2.1=2\)

Bài 4:

Ta có:Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên a+b-c>0,a+c-b>0,b+c-a>0.Do đó,áp dụng bất thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)với x,y là các số dương

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{\left(a+b-c\right)+\left(a+c-b\right)}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\\\frac{1}{a+b-c+}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{\left(a+b-c\right)+\left(b+c-a\right)}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\\\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{\left(b+c-a\right)+\left(a+c-b\right)}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{a+b-c}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=\left(a+b+c\right)-2a=2p-2a=2\left(p-a\right)\\a+c-b=\left(a+b+c\right)-2b=2p-2b=2\left(p-b\right)\\a+b-c=\left(a+b+c\right)-2c=2p-2c=2\left(p-c\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\left[\left(\frac{1}{2\left(p-a\right)}+\frac{1}{2\left(p-b\right)}+\frac{1}{2\left(p-c\right)}\right)\right]\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Bài 6(mk dựa vào ý tưởng của bạn TRẦN MINH HOÀNG nha)

Ta có:\(\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2+xy+yz+xz}=\sqrt{x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)}=\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}\le\frac{\left(x+z\right)+\left(x+y\right)}{2}\)

Chứng minh tương tự:\(\sqrt{y^2+1}\le\frac{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}{2}\)

\(\sqrt{z^2+1}\le\frac{\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}{2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\le\frac{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}{2}+\frac{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}{2}+\frac{\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}{2}=2\left(x+y+z\right)\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z

5.

\(\sqrt{\frac{x}{y+z}}=\frac{x}{\sqrt{x\left(y+z\right)}}\ge\frac{2x}{x+y+z}\)

Tương tự: \(\sqrt{\frac{y}{x+z}}\ge\frac{2y}{x+y+z}\) ; \(\sqrt{\frac{z}{x+y}}\ge\frac{2z}{x+y+z}\)

Cộng vế với vế:

\(VT\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\)

Dấu "=" ko xảy ra nên \(VT>2\)

Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(9=x+y+xy+1=(x+1)(y+1)\leq \left(\frac{x+y+2}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow 4\leq x+y\)

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:

\(x^3+4x\geq 4x^2; y^3+4y\geq 4y^2\)

\(\frac{x}{4}+\frac{1}{x}\geq 1; \frac{y}{4}+\frac{1}{y}\geq 1\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+x^2+y^2+5(x+y)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 5(x^2+y^2)+\frac{3}{4}(x+y)+2\)

Mà:

\(5(x^2+y^2)\geq 5.\frac{(x+y)^2}{2}\geq 5.\frac{4^2}{2}=40\)

\(\frac{3}{4}(x+y)\geq \frac{3}{4}.4=3\)

\(\Rightarrow A= x^3+y^3+x^2+y^2+5(x+y)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 40+3+2=45\)

Vậy \(A_{\min}=45\Leftrightarrow x=y=2\)

Bài 2:

\(B=\frac{a^2}{a-1}+\frac{2b^2}{b-1}+\frac{3c^2}{c-1}\)

\(B-24=\frac{a^2}{a-1}-4+\frac{2b^2}{b-1}-8+\frac{3c^2}{c-1}-12\)

\(=\frac{a^2-4a+4}{a-1}+\frac{2(b^2-4b+4)}{b-1}+\frac{3(c^2-4c+4)}{c-1}\)

\(=\frac{(a-2)^2}{a-1}+\frac{2(b-2)^2}{b-1}+\frac{3(c-2)^2}{c-1}\geq 0, \forall a,b,c>1\)

\(\Rightarrow B\geq 24\)

Vậy \(B_{\min}=24\Leftrightarrow a=b=c=2\)

Bài 3:
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương ta có:

\(4=2x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=x^2+x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}\geq 4\sqrt[4]{\frac{x^2y^2}{4}}\)

\(\Rightarrow 4\geq x^2y^2\Rightarrow 2\geq xy\geq -2\)

Ta thấy khi $xy$ càng tiến về $0$ và dương thì $C=\frac{1}{xy}$ càng lớn. Do đó $C=\frac{1}{xy}$ không có GTLN.

Ta co: \(1+x^2=xy+yz+zx+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{\left(1+x^2\right)}}=\sqrt{\frac{\left(y+x\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=y+z\)

Thê vào ta được

\(A=x\left(y+z\right)+y\left(z+x\right)+z\left(x+y\right)=2\left(xy+yz+zx\right)=2\)

\(VT=\sum\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\sum\frac{x}{\sqrt{xy+xz+yz+x^2}}=\sum\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\frac{1}{2}\sum\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\)\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z}+\frac{y}{x+y}+\frac{z}{x+z}+\frac{z}{y+z}\right)=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

bài 3 thôi nhé,mấy bài kia đơn giản mà

Áp dụng bất đẳng thức Schwarts ta có:

\(\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+zx}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{1+1+1+xy+yz+zx}\ge\frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)

=>đpcm

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

bài 1 dạng này mình ko biết

còn bài 2 thì mình giải rồi nhưng ko chắc

bạn giúp mình cả 2 bài này luôn nha

a) Ta có : \(1+x^2=xy+yz+zx+x^2=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(z+x\right)\)

b) \(\Sigma\left(x\sqrt{\dfrac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}\right)=\Sigma\left(x\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right).\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\right)\)

\(=\Sigma\left(x\left(y+z\right)\right)=xy+xz+xy+yz+zx+zy=2\left(xy+yz+zx\right)=2\)

Theo bài ra ta có: \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1\Rightarrow x+y+z=xyz\)

Do:\(\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}=\sqrt{yz+x^2yz}=\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)

Tương tự: \(\sqrt{xy\left(1+z^2\right)}=\sqrt{\left(z+y\right)\left(x+z\right)}\);

\(\sqrt{zx\left(1+y^2\right)}=\sqrt{\left(z+y\right)\left(x+y\right)}\)

\(A=\sqrt{\frac{x^2}{yz\left(1+x^2\right)}}+\sqrt{\frac{y^2}{zx\left(1+y^2\right)}}+\sqrt{\frac{z^2}{xy\left(1+z^2\right)}}\)

\(A=\sqrt{\frac{x}{x+y}.\frac{x}{x+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+y}.\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+z}.\frac{z}{y+z}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\), dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)

Ta có \(\sqrt{\frac{x}{x+y}.\frac{x}{x+z}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\);

\(\sqrt{\frac{y}{x+y}.\frac{y}{y+z}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}\right)\);

\(\sqrt{\frac{z}{x+z}.\frac{z}{y+z}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{z}{x+z}+\frac{z}{y+z}\right)\)

\(A\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z}+\frac{y}{y+x}+\frac{z}{y+z}+\frac{z}{x+z}\right)=\frac{3}{2}\)

Vậy \(A\le\frac{3}{2}\). Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)

1) Ta có ĐK: 0 < a,b,c < 1

\(\sqrt{\frac{a}{1-a}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(1-a\right)}}\ge2a\) (BĐT AM-GM cho 2 số a và 1-a)

Tương tự, ta có \(\sqrt{\frac{b}{1-b}}=\frac{b}{\sqrt{b\left(1-b\right)}}\ge2b\) và \(\sqrt{\frac{c}{1-c}}=\frac{c}{\sqrt{c\left(1-c\right)}}\ge2c\)

⇒ \(\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}\ge2\left(a+b+c\right)=2\)(do a+b+c=1)

Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) a = b = c = \(\frac{1}{2}\) (không thoả mãn điều kiện a+b+c=1)

Dấu đẳng thức trên không xảy ra được. Vậy ta có bất đẳng thức\(\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}>2\)