Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Đặng minh hiếu 0

1 . Cho \(a,b,c\ne0\in Q\)\(a=b+c\)

CMR : \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\in Q\)

2 . Cho ba số dương x,y,z thõa mãn điều kiện xy+yz+zx=1 tính:

\(A=x\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}+y\sqrt{\frac{\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)}{1+y^2}}+z\sqrt{\frac{\left(1+x\right)^2\left(1+y^2\right)}{1+z^2}}\)

3 .

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến MA tới đường tròn (O; R), ( A là tiếp điểm). Gọi E là trung điểm đoạn AM và hai điểm I, H lần lượt là hình chiếu của E và A trên đường thẳng OM. Qua M vẽ cát tuyến MBC tới đường tròn (O) sao cho MB < MC và tia MC nằm giữa hai tia MA, MO.

a) Chứng minh các hệ thức: MA2 = MB.MC; MA2 = MH.MO.

b) Chứng minh ∆MBH đồng dạng ∆MOC. Từ đó chứng minh tứ giác BCOH nội tiếp đường tròn.

c) Chứng minh . Vẽ tiếp tuyến IK tới đường tròn (O) với K là tiếp điểm. và ∆MKH vuông tại K.

d) Giả sử BC = 3BM và D là trung điểm đoạn MC. Chứng minh: MC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ∆ODH

Hoàng Thị Ánh Phương
11 tháng 3 2020 lúc 10:27

Bài 1 :

Ta có :

\(\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}-\frac{1}{bc}\right)\)

\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}-\frac{2}{ab}-\frac{2}{ac}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{ac}-\frac{2}{bc}\)

\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\left(1\right)\)

Mặt khác \(\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}-\frac{1}{bc}\right)\)

\(=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2+2.\frac{c+b-a}{abc}\)

\(=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2\) ( vì \(a=b+c\) ) (2)

Từ (1) và (2) . Suy ra

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\left|\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right|\)

Do a , b , c là các số hữu tỉ khác 0 nên \(\left|\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right|\) là một số hữu tỉ

Từ đây ta có đpcm

Khách vãng lai đã xóa
Hoàng Thị Ánh Phương
11 tháng 3 2020 lúc 14:59

Bài 3 :

Violympic toán 9

a ) Xét đường tròn \(\left(O\right)\) có tiếp tuyến MA , cát tuyến MBC

\(\Rightarrow MA^2=MB.MC\) ( hệ thức lượng đường tròn ) (đpcm )

Xét \(\Delta MOA\) vuông tại A , đường cao AH

\(\Rightarrow MA^2=MH.MO\) ( hệ thức lượng tam giác vuông ) (đpcm)

b ) Theo câu a ) ta có : \(MB.MC=MH.MO\left(=AM^2\right)\)

\(\Rightarrow\Delta MBH\sim\Delta MOC\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{MHB}=\widehat{MCO}\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác BCOH nội tiếp đường tròn ( đpcm )

c ) Áp dụng định lí Pytagore , ta có các đẳng thức về cạnh : \(IK^2=OI^2-OK^2=OI^2-OA^2=\left(OM-IM\right)^2-OA^2=OM^2-2.OM.IM+IM^2-OA^2=AM^2-MH.MO+IM^2\)

\(=AM^2-AM^2+IM^2=IM^2\Rightarrow IK=IM\) . Do đó : \(IK=IM=IH=\frac{MH}{2}\)

Xét \(\Delta MKH\) có : Trung tuyến \(KI=\frac{MH}{2}\left(cmt\right)\Rightarrow\Delta KMH\) vuông tại K ( đpcm )
d ) Từ câu a : \(MA^2=MB.MC=\frac{MC}{4}.MC=\frac{MC^2}{4}\Rightarrow MA=\frac{MC}{2}=MD\)

Từ đó : \(MA^2=MD^2=MH.MO\Rightarrow\Delta MDH\sim\Delta MOD\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{MDH}=\widehat{MOD}\)= 1/2.Sđ ( HD ( ODH)

Suy ra MC tiếp xúc với đường tròn ( ODH ) (đpcm)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
Đỗ Thanh Tùng
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Triết
Xem chi tiết
nguyen thi hoa trinh
Xem chi tiết
Võ Hồng Phúc
Xem chi tiết
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết