Question

Câu 1 a, Giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}3x^3-y^3=\frac{1}{x+y}\\x^2+y^2=1\end{matrix}\right.\)

b, Giải phương trình \(\sqrt{3-2x}+\sqrt[3]{5+3x}=3\)

c, Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình \(\frac{x^2-4}{x}+\frac{y^2-4}{y}+8=4\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}\right)\)

Câu 2 a , Với a;b;c là 3 số thực đôi một phân biệt chứng minh rằng

\(\frac{2a+b}{a-b}+\frac{2b+c}{b-c}+\frac{2c+a}{c-a}=\frac{\left(2a+b\right)\left(2b+c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{\left(2b+c\right)\left(2c+a\right)}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{\left(2c+a\right)\left(2a+b\right)}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}+3\)

b, So sánh A và 1 . biết A = \(\frac{9+\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9}}}}{9+\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9}}}}}\)

c, Chứng minh bc là số chính phương biết a,b,c là các số nguyên và thỏa mãn \(\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}=\frac{2c}{b+c}\)

Câu 3 a, Cho tam giác ABC đều . Trên tia đối tia CB lấy D sao cho góc CAD = 15 độ . Đường thẳng vuông góc vơi BC tại C cắt AD ở E . Tia phân giác góc ABC cắt AD tại K . Chứng minh AK= DE

b, Cho tam giác ABC vuông tại A có góc B = 15 độ . Các điểm E , F lần lượt nằm trên các cạnh AC,AB sao cho góc ABE = 10 độ và góc ACF = 30 độ . Tính số đo góc CFE

c,Cho tam giác ABC trên tia BA lấy M , trên tia CA lấy N sao cho BM=CN. chứng minh đường trung trực của MN luôn đi qua 1 điểm cố định.

Câu 4 a, Tìm số nguyên tố p để p^3-4p+9 là số chính phương

b,Cho 2 đường thẳng (d1): mx+(m-2)y+m+2=0 và đường thẳng (d2): (2-m)x+my-m-2=0 . Chứng minh hai đường thẳng (d1) và (d2) luôn cắt nhau tại 1 điểm H và khi m thay đổi thì H luôn nằm trên 1 đường tròn cố định

Câu 5 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB =2R.Gọi C là trung điểm AO . Vẽ tia Cx vuông với AB cắt nửa đường tròn tại I . Lấy K bất kì thuộc CI (K khác C và I).Tia AK cắt nửa đường tròn (O) tại M ; tia BM cắt tia Cx tại D . Vẽ tiếp tuyến nửa đường tròn (O) tại M cắt tia Cx tại N . chứng minh

a, Tam giác MNK cân b,Tính diện tích tam giác ABD theo R khi K là trung điểm CI

c, Khi K di động trên CI . Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD đi qua điểm cố định thứ hai khác A

Câu 6 a, Cho a,b,c>0 và a+b+c=3 Tính GTNN của E = \(\frac{1}{a^2b+2}+\frac{1}{b^2c+2}+\frac{1}{c^2a+2}\)

b, Cho a, b là các số thực thỏa a+b khác 0 . Chứng minh \(a^2+b^2+\left(\frac{1+ab}{a+b}\right)^2\ge2\)