Trong tam giác ABC, theo Hệ quả định lý Cô sin ta luôn có :

Mà ta có 2.bc > 0 nên cos A luôn cùng dấu với b2 + c2 – a2.

a) Góc A nhọn ⇔ cos A > 0 ⇔ b2 + c2 – a2 > 0 ⇔ a2 < b2 + c2.

b) Góc A tù ⇔ cos A < 0 ⇔ b2 + c2 – a2 < 0 ⇔ a2 > b2 + c2.

c) Góc A vuông ⇔ cos A = 0 ⇔ b2 + c2 – a2 = 0 ⇔ a2 = b2 + c2.

\(1,\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\\ =a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\\ =a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2\\ =\left(a^2c^2+a^2d^2\right)+\left(b^2d^2+b^2c^2\right)\\ =a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\\ =\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

2, \(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge\left(ac+bd\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2\ge a^2c^2+2abcd+b^2d^2\)

\(\Leftrightarrow b^2c^2-2abcd+a^2d^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(bc-ad\right)^2\ge0\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow bc=ad\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)

\(1\)/ 

⇔ \(\left(ac\right)^2+2abcd+\left(bd\right)^2+\left(ad\right)^2-2abcd+\left(bc\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

⇔\(a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

⇔\(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\) ⇒ \(\left(dpcm\right)\)

\(2\)/

⇔\(\left(ac\right)^2+\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(bd\right)^2\ge\left(ac\right)^2+2abcd+\left(bd\right)^2\)

⇔\(\left(ad\right)^2-2abcd+\left(bc\right)^2\ge0\)

⇔\(\left(ad-bc\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)

1/ \((ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = (ac)^2 + (bd)^2 + 2(ac)^2 (bd)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 - 2(ad)^2 (bc)^2 \)

                                          \(= (ac)^2 + (bd)^2 + 2(acbd)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 - 2(adbc)^2 \)

                                          \(= (ac)^2 + (bd)^2 + (ad)^2 + (bc)^2\)

                                          \(= a^2 c^2 + b^2 c^2 + a^2 d^2 + b^2 d^2\)

                                          \(= (a^2 + b^2)c^2 + (a^2 + b^2)d^2\)

                                          \(= (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)\)

➤ \((ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)\)

2/ \((a^2 + b^2)(c^2 + d^2) ≥ (ac + bd)^2 \) 

↔ \((ac)^2 + (bc)^2 + (ad)^2 + (bd)^2 ≥ (ac)^2 + (bd)^2 + 2(ac)(bd)\)

↔\( (bc)^2 + (ad)^2 ≥ 2(acbd)\)

↔\( (bc)^2 + (ad)^2 - 2(bcad) ≥ 0\)

↔ \( (bc - ad)^2 ≥ 0 \) với mọi a,b,c và d

➤ \((a^2 + b^2)(c^2 + d^2) ≥ (ac + bd)^2 \) với mọi a,b,c,d

Nếu \(c^2+d^2\ge1\left(bất.đẳng.thức.đúng\right)\)

Ta chứng minh c²+d²<1

+Đặt x=1-a²-b² và y =1-c² - d²

-0 \(\le x,y\le1\)

Bđt <=> (2 - 2ac - 2bd)²\(\ge\) 4xy <=> ((a-c)²+(b-d)²+x+y)²\(\ge4xy\)

=> ((a-c)²+(b-d)² + x + y)² \(\ge\left(x+y\right)^2\ge4xy\left(đpcm\right)\)

đặt x/a=y/b=z/c=k

=>x=a.k,

y=b.k

z=c.k

=>(a^2k^2+b^2k^2+c^2k^2)(a^2+b^2+c^2)=k^2.(a^2+b^2+c^2)^2(1)

(ax+by+cz)^2=(a.a.k+b.b.k+c.c.k)^2=(a^2.k+b^2.k+c^2.k)^2

=k^2(a^2+b^2+c^2)(2)

từ (1)(2)=> nếu x/a=y/b=z/c thì (x² + y² + z²) (a² + b² + c²) = (ax + by + cz)²

=>

Nếu cái j?